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Exact Equations Intuition 2 (proofy)

  • 0:01 - 0:04
    上节课
  • 0:04 - 0:05
    我给大家介绍了
  • 0:05 - 0:06
    偏导下的链式法则
  • 0:06 - 0:10
    我们说 如果有一个函数Ψ
  • 0:10 - 0:14
    这是希腊字母Ψ 它是x、y的函数
  • 0:14 - 0:17
    如果我要求它的偏导数
  • 0:17 - 0:19
    关于。。。 不对 我要求导数
  • 0:19 - 0:23
    不是偏导 求它关于x的导数
  • 0:23 - 0:30
    那就是?Ψ
  • 0:30 - 0:33
    除以?x 加上?Ψ
  • 0:33 - 0:35
    除以?y 乘以dy/dx
  • 0:35 - 0:38
    上一个视频中 我没有证明
  • 0:38 - 0:40
    但我给了大家一种直观
  • 0:40 - 0:41
    所以相信我吧
  • 0:41 - 0:41
    但可能某天
  • 0:41 - 0:43
    我会严格地证明它
  • 0:43 - 0:45
    不过如果有兴趣的话
  • 0:45 - 0:46
    也能在网络上找到
  • 0:46 - 0:50
    偏导下的链式法则的证明
  • 0:50 - 0:53
    放一边吧
  • 0:53 - 0:54
    下面来看看偏导的另一个性质
  • 0:56 - 0:56
    这之后 我们就能直观地感受
  • 0:56 - 0:57
    恰当方程了
  • 0:57 - 0:59
    因为你会发现
  • 0:59 - 1:02
    这些足够让我们去解恰当方程了
  • 1:02 - 1:05
    但直觉这东西吧
  • 1:05 - 1:06
    好吧 我不想说它有点难
  • 1:06 - 1:07
    因为直觉有了就是有了
  • 1:07 - 1:11
    所以 如果有一个函数Ψ
  • 1:11 - 1:15
    我要求Ψ的偏导数
  • 1:15 - 1:17
    首先是关于x的偏导
  • 1:17 - 1:18
    写下Ψ
  • 1:18 - 1:20
    我不用每次都写上x、y
  • 1:20 - 1:23
    然后我求关于y的
  • 1:23 - 1:25
    偏导数
  • 1:29 - 1:33
    正如记号 可以写成。。。
  • 1:33 - 1:33
    多多少少可以看做
  • 1:33 - 1:35
    把操作符（求导符号）相乘
  • 1:35 - 1:36
    可以写成这样
  • 1:36 - 1:42
    上面是?2Ψ
  • 1:42 - 1:48
    下面是?y 或者?x
  • 1:48 - 1:50
    也可以写成。。。
  • 1:50 - 1:53
    这是我最喜欢的符号
  • 1:53 - 1:54
    因为它没有多余的符号
  • 1:54 - 1:55
    你可以说
  • 1:55 - 1:56
    求偏导 先是x
  • 2:00 - 2:01
    这意味着 对Ψ求关于x的偏导
  • 2:01 - 2:04
    然后求关于y的偏导
  • 2:04 - 2:06
    这是其中一种情况
  • 2:06 - 2:08
    先求关于x 再求关于y的偏导
  • 2:08 - 2:09
    是怎样做的呢？
  • 2:09 - 2:13
    先是关于x
  • 2:13 - 2:14
    把y固定 求关于x的偏导
  • 2:14 - 2:15
    关于x的 把y忽略
  • 2:15 - 2:17
    然后把x固定
  • 2:17 - 2:19
    求关于y的偏导
  • 2:19 - 2:21
    那交换x和y的顺序
  • 2:21 - 2:22
    会发生什么呢？
  • 2:22 - 2:25
    会发生的是。。。
  • 2:25 - 2:30
    用另一种颜色 写下Ψ
  • 2:30 - 2:33
    然后求偏导
  • 2:33 - 2:34
    先是关于y
  • 2:34 - 2:36
    然后是关于x 这是什么呢？
  • 2:37 - 2:38
    这只是记号罢了
  • 2:38 - 2:41
    大家应该适应了吧
  • 2:41 - 2:45
    这是?x和?y
  • 2:45 - 2:46
    这是算符
  • 2:46 - 2:49
    这里可能会引起误会
  • 2:49 - 2:50
    这两个记号
  • 2:50 - 2:51
    尽管是一样的
  • 2:51 - 2:53
    但顺序变了
  • 2:53 - 2:54
    这不过是因为
  • 2:54 - 2:55
    看待事物的方法不一样
  • 2:55 - 2:58
    这是说 先求关于x的偏导 再y
  • 2:58 - 3:00
    这看上更像算符
  • 3:00 - 3:03
    先求关于x的偏导 然后求关于y的
  • 3:03 - 3:05
    就像是算符乘积那样
  • 3:05 - 3:09
    无论怎样 这也可以写成
  • 3:09 - 3:11
    先是y 然后才是x
  • 3:11 - 3:13
    不好意思 关于y
  • 3:13 - 3:15
    然后才是关于x的偏导
  • 3:15 - 3:18
    现在 我要告诉大家
  • 3:18 - 3:21
    如果求偏之后函数都是连续的
  • 3:21 - 3:22
    我们处理的
  • 3:22 - 3:25
    大部分函数的定义域都是平凡的
  • 3:25 - 3:27
    也就是 是连续的 没有洞的
  • 3:27 - 3:29
    函数的定义中也没有诡异的地方
  • 3:29 - 3:30
    它们通常都是连续的
  • 3:30 - 3:33
    特别地 在第一年的微积分或微分课程中
  • 3:34 - 3:35
    我们处理的
  • 3:35 - 3:36
    大部分是连续函数
  • 3:36 - 3:38
    定义域是好的
  • 3:38 - 3:40
    如果这两个函数是连续的
  • 3:40 - 3:45
    求偏之后还都是连续的
  • 3:45 - 3:47
    那它们就是相等的
  • 3:47 - 3:55
    Ψxy等于Ψyx
  • 3:55 - 4:01
    现在 我们要应用它了
  • 4:01 - 4:05
    求偏下的链式法则
  • 4:05 - 4:07
    应用它去解
  • 4:07 - 4:09
    一种类型的微分方程
  • 4:09 - 4:13
    一阶的微分方程
  • 4:13 - 4:14
    叫做“恰当方程”
  • 4:14 - 4:18
    恰当方程是怎样的呢？
  • 4:18 - 4:22
    它们是这样的
  • 4:22 - 4:24
    选择颜色真不容易啊
  • 4:24 - 4:26
    这是我的微分方程
  • 4:26 - 4:30
    关于x和y的函数
  • 4:30 - 4:32
    不确定是什么
  • 4:32 - 4:33
    它可能是x2*cosy 或者其他
  • 4:33 - 4:35
    不确定是什么 可以是任意x、y的函数
  • 4:35 - 4:40
    加上另一个x、y的函数
  • 4:40 - 4:45
    称之为N 乘以dy/dx之后等于0
  • 4:45 - 4:46
    这是。。。
  • 4:46 - 4:48
    我不确定是否为恰当方程
  • 4:48 - 4:51
    不过你看到这样的形式
  • 4:51 - 4:53
    首先要做的是。。。
  • 4:53 - 4:54
    首先考虑它是否可分离变量
  • 4:54 - 4:56
    你们应该做一些代数练习
  • 4:56 - 4:58
    看看变量是否可分离
  • 4:58 - 4:59
    因为那可以直接解出来
  • 4:59 - 5:00
    如果不可分离
  • 5:00 - 5:02
    但还是这样的形式
  • 5:02 - 5:04
    你就会问“喔 这是恰当方程么？”
  • 5:04 - 5:06
    什么是恰当方程？
  • 5:06 - 5:07
    好吧 首先要看
  • 5:07 - 5:12
    这里的形式
  • 5:12 - 5:14
    看上去和这里很相似
  • 5:14 - 5:18
    如果M是?Ψ/?x呢？
  • 5:18 - 5:25
    Ψx是否就是M呢？
  • 5:25 - 5:27
    这是Ψx吗？
  • 5:27 - 5:30
    又如果这是Ψy呢？
  • 5:30 - 5:32
    也就是Ψy=N
  • 5:32 - 5:33
    如果。。。
  • 5:33 - 5:35
    我只是想说 我们并不确定
  • 5:35 - 5:38
    如果你偶然在某处看到这个式子
  • 5:38 - 5:40
    你不会知道这是否
  • 5:40 - 5:42
    是某函数关于x的偏导数
  • 5:42 - 5:43
    或者这也是一个偏导数
  • 5:43 - 5:44
    某函数关于y的偏导数
  • 5:44 - 5:46
    但我们说 如果是呢？
  • 5:46 - 5:47
    如果确实是
  • 5:47 - 5:50
    我们就可以重新写成 Ψ
  • 5:50 - 5:53
    关于x的偏导 加上Ψ
  • 5:53 - 5:59
    关于y的偏导 乘以dy/dx 等于0
  • 5:59 - 6:02
    这里左边的式子
  • 6:02 - 6:05
    和这里是一样的 对吧？
  • 6:05 - 6:09
    这是Ψ关于x的导数
  • 6:09 - 6:11
    用到了偏导下的链式法则
  • 6:11 - 6:13
    所以可以重写了
  • 6:13 - 6:17
    重写成 这是Ψ关于x的
  • 6:17 - 6:20
    导数
  • 6:20 - 6:23
    Ψ是关于x、y的函数 等于0
  • 6:23 - 6:28
    看这个微分方程
  • 6:28 - 6:29
    写出这样的形式
  • 6:29 - 6:31
    你会说 哎 还是不能分离变量吧
  • 6:31 - 6:32
    但这是一个恰当方程
  • 6:32 - 6:36
    显然
  • 6:36 - 6:37
    如果它出现在
  • 6:37 - 6:38
    最近的考试中
  • 6:38 - 6:39
    那它很可能是一个恰当方程
  • 6:39 - 6:41
    但看到这个形式 你会说
  • 6:41 - 6:42
    它可能是一个恰当方程
  • 6:42 - 6:45
    如果它是一个恰当方程。。。
  • 6:45 - 6:45
    告诉大家
  • 6:45 - 6:48
    怎样最快地作出判断
  • 6:48 - 6:50
    然后就可以写成
  • 6:50 - 6:53
    某函数Ψ的导数了
  • 6:53 - 6:55
    这是Ψ关于x的偏导
  • 6:55 - 6:58
    这是Ψ关于y的偏导
  • 6:58 - 7:00
    如果可以写成这样
  • 7:00 - 7:01
    就可以对两边求导。。。
  • 7:01 - 7:07
    不对 应该是两边取不定积分
  • 7:07 - 7:08
    就能得到Ψ(x,y)=C
  • 7:08 - 7:10
    是方程的一个解
  • 7:10 - 7:11
    有两件事
  • 7:11 - 7:13
    是我们应该关心的
  • 7:13 - 7:16
    之后你可能会说 好的 Sal
  • 7:16 - 7:20
    考虑过了Ψ 、偏导数 所有的这些
  • 7:20 - 7:22
    首先 怎样知道这是否是一个恰当方程？
  • 7:22 - 7:25
    然后 如果是恰当方程
  • 7:25 - 7:27
    也就是存在那样的一个Ψ
  • 7:27 - 7:28
    然后怎样解出Ψ呢？
  • 7:28 - 7:32
    所以 判断是否恰当方程的办法
  • 7:32 - 7:35
    就是利用这个信息
  • 7:35 - 7:38
    我们知道 Ψ和它的偏导们
  • 7:38 - 7:40
    在定义域上都是连续的
  • 7:40 - 7:42
    然后关于x和y
  • 7:42 - 7:46
    求偏导数
  • 7:46 - 7:47
    在两种求偏顺序下 它们还是一样的
  • 7:47 - 7:49
    所以我们说 这是偏导
  • 7:49 - 7:50
    关于x的 对吧？
  • 7:53 - 7:56
    这是关于y的偏导
  • 7:56 - 8:00
    如果这是恰当方程
  • 8:00 - 8:01
    如果它是恰当的
  • 8:01 - 8:03
    对它关于y的
  • 8:03 - 8:05
    偏导数 对吧？
  • 8:05 - 8:12
    对M求关于y的偏导。。。
  • 8:12 - 8:14
    也就是Ψx
  • 8:14 - 8:16
    等于M
  • 8:16 - 8:17
    如果我们对它求关于y的
  • 8:17 - 8:18
    偏导数
  • 8:18 - 8:22
    可以重写成这样
  • 8:22 - 8:26
    它是等于
  • 8:26 - 8:28
    Nx 对吧？
  • 8:28 - 8:32
    Ψ关于y的偏导 是N
  • 8:32 - 8:35
    如果我们对两边
  • 8:35 - 8:36
    求关于x的偏导
  • 8:36 - 8:41
    我们知道它们应该是相等的
  • 8:41 - 8:44
    如果Ψ和它的偏导都是连续的话
  • 8:44 - 8:49
    所以这是相等的
  • 8:49 - 8:52
    因此 这其实是判断
  • 8:52 - 8:54
    恰当与否的办法
  • 8:54 - 8:56
    我来重新写一下
  • 8:56 - 8:57
    总结一番
  • 8:57 - 9:05
    如果你看到这样的形式M(x,y)
  • 9:05 - 9:10
    加上N（x,y)dy/dx 等于0
  • 9:10 - 9:13
    然后就应该 对M求关于y的
  • 9:13 - 9:14
    偏导数
  • 9:14 - 9:18
    然后对N求关于x的偏导
  • 9:18 - 9:24
    它们会是相等的
  • 9:24 - 9:26
    这。。。是当且仅当的
  • 9:26 - 9:29
    如果满足的话 它就是恰当方程
  • 9:29 - 9:31
    恰当微分方程
  • 9:31 - 9:32
    这是恰当的
  • 9:32 - 9:34
    如果它是恰当方程
  • 9:34 - 9:36
    也就告诉了我们 存在一个Ψ
  • 9:36 - 9:47
    它的导数等于0
  • 9:47 - 9:52
    或者Ψ(x,y)=C
  • 9:52 - 9:53
    这是方程的解
  • 9:53 - 9:58
    Ψ关于x的偏导
  • 9:58 - 10:00
    等于M
  • 10:00 - 10:04
    Ψ关于y的偏导
  • 10:04 - 10:05
    等于N
  • 10:05 - 10:08
    在下一个视频中
  • 10:08 - 10:10
    我会告诉大家 怎么利用这个信息解方程
  • 10:10 - 10:12
    这里我还是要指出某些东西
  • 10:12 - 10:14
    这是Ψ关于x的
  • 10:14 - 10:15
    偏导数
  • 10:15 - 10:18
    当我们要做判断时
  • 10:18 - 10:20
    要关于y求偏
  • 10:20 - 10:21
    因为我们想得到混合导数
  • 10:21 - 10:21
    同样地
  • 10:21 - 10:23
    这是Ψ关于y的
  • 10:23 - 10:27
    偏导数 但我们要判断的话
  • 10:27 - 10:30
    就要取其关于x的偏导
  • 10:30 - 10:31
    又得到了混合导数
  • 10:31 - 10:33
    这是关于y的
  • 10:33 - 10:34
    这是关于x的 得到这个
  • 10:34 - 10:36
    无论如何 有点复杂
  • 10:36 - 10:38
    但希望大家能明白我所做的一切
  • 10:38 - 10:41
    我想 大家应该有了
  • 10:41 - 10:43
    一种关于恰当方程的直觉
  • 10:43 - 10:46
    下节课 我教大家
  • 10:46 - 10:49
    解一些恰当方程 下次见啦~
Title:
Exact Equations Intuition 2 (proofy)
Description:

More intuitive building blocks for exact equations.
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Video Language:
English
Duration:
10:51
amyyan added a translation

Chinese, Simplified subtitles

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