-
Geçen videoda sizi kısmi türevlerle zincir
-
kuralı fikriyle tanıştırdım.
-
Ve dedik ki eğer bir fonksiyonumuz psi varsa ve bu
-
x ve y e bağlı bir fonksiyonsa
-
ve ben bu fonksiyonun kısmi--
-
yok yok ,türevini kısmi değil--
-
x e göre türevini almak istiyorsam,
-
bu türev eşittir psi nin x e göre kısmi türevi artı
-
psi nin y ye göre kısmi türevi çarpı dydx.
-
Son videoda bunu size ispat etmedim ama
-
ümit ederim ki bana inanmanızı sağlayacak az da olsa
-
bir fikir vermişimdir.
-
Belki birgün biraz daha fazla ispat yaparım
-
ama isterseniz internette kısmi denklemlerin zincir
-
kuralı ile ilgili ispatlar bulabilirsiniz.
-
Şimdi bunu bir kenara koyalım ve kısmi türevlerin bir
-
başka özelliğini inceleyelim ve sonra tam denklemlerin
-
arkasında yatan sezgiyi kazanmış oluruz.
-
Çünkü göreceksiniz ki tam denklemleri çözmek bayağı
-
basittir ama o sezgiyi kazanmak
-
biraz daha zor diyemicem
-
o sezginiz varsa vardır.
-
O zaman diyelimki bu fonksiyon psi var
-
ve onun x e göre kısmi türevini alıcam.
-
Sadece psi yazıcam.
-
Her seferinde x ve y yazmıcam.
-
Sonra da y ye göre kısmi türev
-
alıcam.
-
İşaretle gösterirken bunu şu şekilde yazabilirsiniz,bunu
-
operatörler i çarpıyormuş gibi farzedersek şu şekilde
-
yazabiliriz.
-
del kare çarpı psi nin kısmi türevi yada del kare psi bölü
-
dely del yada del.x.
-
Bu şu şekilde de yazılabilir-- ki ben bunu tercih ediyorum
-
çünkü bütün bu extra fazlalıklar yok
-
etrafta.
-
Diyebilirsiniz ki kısmi
-
ilk olarak x e göre kısmi türev aldık.Bu psi nin x e
-
göre kısmi türevidir.
-
Sonra da y ye göre kısmi türev aldık.
-
Bu düşünüle cek bir durum.
-
Önce x e ve sonrada y ye göre kısmi
-
türev alırsak ne olur?
-
Evet x e göre,kısmi türev almak için
-
y yi sabit tutuyoruz.
-
Burdaki y i görmeyin.
-
Sonra x i sabit tutuyoruz ve
-
y ye göre kısmi alıyoruz.
-
Bununla eğer sırasını değiştirirsek elde edeceğimiz arasındaki
-
fark nedir?
-
Eğer şöyle yapsak ne olur-- farklı bir renkle yapıcam--
-
eğer psi olsaydı ve onun önce y ye göre sonrada
-
x e göre kısmi türevini
-
alsak?
-
Bunun, yazılı ifadesi,
-
şöyle olur--kısmi x,kısmi y.
-
Bu da operatör.
-
Burası biraz karışık gelebilir,bu iki yazılı
-
ifade arasında,aynı şey olmalarına rağmen,
-
sırası karışıktır.
-
Bunun nedeni sadece değişik bir düşünme
-
şekli olmasıdır.
-
Bu diyor ki ,kısmi türev önce x e göre sonra y ye göre.
-
Önce x in kısmi türevini
-
sonra ynin kısmi türevini aldık sanki ikisini
-
çarpar gibi.
-
Neyse bu aynı zamanda şöyle yazılabilir y nin x e
-
göre kısmi --pardon ,y nin kısmi türevi vesonra
-
bunun x e göre kısmi türevi.
-
Ş imdi size şunu söylicem--eğer bu ilk kısmi türevler
-
sürekli ise--ki şimdiye kadar uğraştığımız
-
denklemler
-
arada kopukluk,delikler
-
ya da fonksiyon tanımında bir gariplik olmadığı sürece
-
süreklidirler.
-
Bilhassa kalkülüs va da diferansiyel konusunda ilk
-
sene sadece sürekli denklemlerle
-
uğraşıcağız.
-
Eğer bu fonksiyonların ikisi de sürekli ise, eğer ilk kısmiler
-
de sürekli ise o zaman bu ikisi birbirine
-
eşit olacaktır.
-
Ve xy nin psi si , yx in psi sine eşit olacaktır.
-
Şimdi bu bilgiyi kullanabiliriz ki bu kısmi türevlerin
-
zincir kuralıdır, ve bir tür differansiyel
-
,denklemleri bununla çözebiliriz.
-
Birinci derece diferansiyel denklemler ki bunlara
-
tam denklemler diyoruz.
-
Tam denklem neye benzer?
-
Tam denklem şöyledir.
-
Bu renk seçmek işin zor kısmı.
-
Diyelim ki diferansiyel denklemimiz bu.
-
Bir x ve y fonksiyonum var.
-
Ne biliim,x kare çarpı
-
kosinüs y ya da başka bişi.
-
Bilmiyorum,herhangi bir x y fonksiyonu olabilir.
-
artı bir x y fonksiyonu,buna N dicez,çarpı dy,
-
dx eşittir sıfır.
-
Bu--daha tam denklem olup olmadığını bilmiyorum,
-
ama bu şekilde bir denklem görürseniz,ilk tepkiniz,
-
evet ilk sorunuz
-
bu ayrılabilir mi?
-
ve biraz cebir kullanarak ayrılabilir olup olmadığını
-
görebilirsiniz çünkü
-
bu her zaman en kolay yoldur.
-
Eğer ayrılabilir değilse,ama yine de bu şekle sokabiliyorsanız,
-
o zaman dersiniz ki hey,bu bir tam denklem mi?
-
Tam denklem ne demek?
-
Eveet derhal bakın.
-
Bu şekil çok fazla
-
burdaki şekle benziyor.
-
Eğer M psi nin x e göre kısmi türeviyse?
-
Ya x e göre psi eşittir M ise?
-
Ya da x e göre psi bu ise?
-
Ya da y ye göre psi bu ise
-
y ye göre psi eşittir N
-
ya da
-
Demek istediğim tam olarak bilmiyoruz tamam mı?
-
Eğer bunu herhangi bir yerde görürseniz
-
tam olarak bilemezsiniz ki bu bir fonksiyonun x e göre kısmi türevidir
-
ve de bu bir fonksiyonun y ye göre kısmi
-
türevidir.
-
Biz diyoruz ki ya olsaydı?
-
Eğer bu doğruysa,şu şekilde yazabiliriz
-
psi nin x e göre kısmi türevi artı psi nin
-
y ye göre kısmi türevi çarpı dy,dx eşittir sıfır.
-
Ve bu burda,sol taraf orda,bununla
-
aynı şey değil mi?
-
Bu sadece psi nin x e göre kısmi türevi,
-
kısmi türevler için zincir kuralını kullanarak.
-
Böylece yeniden yazabilirsiniz
-
Yeniden yazarken bu sadece psi nin x e göre türevi,
-
içersi x in bir fonksiyonu,
-
y eşittir 0.
-
Eğer bir differansiyel denklem görürseniz ve
-
bu şekildeyse,diyebilisiniz ki,ben bunu ayıramam ama belki
-
bir tam denklemdir.
-
Gerçekten eğer bu sınavdan önce işlediğimizse
-
belki de bir gerçek denklemdir.
-
Ama bu şekli görünce diyebilirsiniz ki
-
belki de tam denklemdir.
-
Eğer tam denklemse-- ve size bu bilgiyi kullanarak nasıl test edeceğinizi
-
göstericem o zaman bunu şöyle yazabiliriz--bir fonksiyon psi nin
-
türevi ,burda bu psi nin x e göre
-
kısmisi oluyor.
-
Bu psinin y ye göre kısmisi oluyor.
-
Ve sonra da bunu şöyle yazabilirseniz,
-
ve iki tarafın da türevini alırsanız,pardon
-
iki tarafın da integralini alırsanız-- psi x,y eşittir
-
c çözümüne ulaşırsınız.
-
İki şey hakkında sizin dikkatinizi çekmek isterim.
-
Diyebilirsiniz ki bana tamam Sal psi ler,kısmiler
-
bunları işledin.
-
Birincisi,tam denklem olduğunu nerden biliyorsun?
-
Eğer tam denklemse bir psi olması gerekiyor
-
ve bu psi yi nasıl çözücez?
-
Tam denklem olup olmadığını bulmak için
-
bu bilgiyi kullanmamız gerekir.
-
Eğer psi ve onun türevleri sürekli ise
-
önce x ve sonra y ye göre kısmisini alırsak
-
bu diğer sırayla almakla
-
aynı şeydir.
-
Dedik ki bu x e göre
-
kısmi dir tamam mı?
-
Bu da y ye göre kısmidir.
-
Bu bir tam denklemse,bu o tam denklemse,
-
ve bunun y ye göre kısmisini
-
alıyorsak?
-
Eğer Mnin y ye göre kısmisini alıyorsak
-
psi nin x e göre kısmisi eşittir M.
-
Eğer bunların y ye göre kısmisini alıyorsak
-
o zaman bunu tekrardan şöyle yazabiliriz--o zaman
-
bu Nnin x e göre kısmisine eşit olur.
-
Psi nin y ye göre kısmisi eşittir N.
-
Bu ikisinin x e göre kısmisini alırsak ,bu ikisinin,
-
bunlar eşit olmalı,eğer psi ve kısmileri o domain de
-
sürekli ise.
-
O zaman bu da eşit olur.
-
O zaman bu tam denklem olup olmadığını
-
bulmak için bir testtir.
-
Bunun tümünü tekrar yazıp
-
biraz da özetliyeyim.
-
Eğer şu şekilde birşey görürseniz,M x y cinsinden,artı N x,y
-
cinsinden,çarpı dy,dx eşittir 0.
-
Sonra Mnin y ye göre kısmisini alır,
-
Nnin x e göre kısmisini alırsanız
-
ve birbirine eşitse
-
bu ancak ve ancak
-
denklem tam ise olur,tam diferansiyel denklemse.
-
Bu bir tam denklem.
-
Eğer bu tam denklemse bir psi vardır ki
-
bu psi nin x,y ye göre türevi
-
eşittir 0 ya da psi eşittir c,
-
bu denklemin bir çözümüdür.
-
Ve psi nin x e göre kısmi türevi
-
eşittir M.
-
Ve psi nin ye göre kısmi türevi eşittir
-
N.
-
Ve bir sonraki videoda bu bilgiyi
-
psi yi çözmede nasıl kullanacağınızı göstericem.
-
Bazı şeylere dikkatinizi çekmek istiyorum.
-
Bu psi nin x e göre kısmisi olacak fakat
-
tam denklem testi için
-
y ye göre türev alıyoruz çünkü karışık
-
türev almak istiyoruz.
-
Aynı şekilde bu da psi nin y ye göre türevi olacak ama
-
testi yapmak için
-
x e göre türev alıyoruz ki
-
karışık türev alalım.
-
Bu y ye göre ve sonra x e göre
-
ve bunu elde ediyorsunuz.
-
Bu biraz derin gelebilir ama
-
yaptığım herşeyi anladıysanız
-
tam denklemlerin nasıl çalıştığıyla ilgili
-
sezginiz oluşmuştur.
-
Gelecek videoda bazı tam denklemleri
-
çözeceğiz.Görüşmek üzere...