-
-
-
ในวิดีโอที่แล้ว ผมได้แนะนำแนวคิดเรื่อง กฏลูกโซ่
-
ใช้กับอนุพันธ์ย่อยไป
-
และเราบอกว่า, อืม, ถ้าผมมีฟังก์ชัน, ไซ, ตัวอักษรกรีก,
-
ไซ, มันเป็นฟังก์ชันของ x กับ y
-
และถ้าผมอยากหาอนุพันธ์ย่อยของเจ้านี่, เทียบกับ
-
-- ไม่สิ, ผมอยากหาอนุพันธ์, ไม่ใช่อนุพันธ์ย่อย --
-
อนุพันธ์ของเจ้านี่, เทียบกับ x, นี่จะเท่ากับ
-
อนุพันธ์ย่อยของไซ, เทียบกับ x, บวกอนุพันธ์ย่อย
-
ของไซ, เทียบกับ y, คูณ dy, dx
-
และในวิดีโอที่แล้ว ผมไม่ได้พิสูจน์ให้คุณดู, แต่
-
ผมหวังว่าคุณจะได้สัญชาตญาณพอ จนคุณ
-
เชื่อผมแล้ว
-
แต่บางที ผมอาจจะพิสูจน์ให้รัดกุม
-
กว่านี้ในอนาคต, แต่คุณสามารถหาบทพิสูจน์ในเว็บต่างๆ ได้ ถ้าคุณ
-
สนใจ, หากฏลูกโซ่กับอนุพันธ์ย่อยดู
-
ลองพักเรื่องนั้นไว้ แล้วสำรวจสมบัติอีกอย่างหนึ่ง
-
ของอนุพันธ์ย่อยกัน, แล้วเราจะได้เข้าใจสัญชาตญาณ
-
เบื่องหลังสมการแม่นตรง
-
เพราะคุณจะพบว่า, การแก้สมการแม่นตรง
-
เป็นเรื่องตรงไปตรงมา, แต่สัญชาตญาณมักจะยุ่ง
-
-- อืม, ผมไม่อยากบอกว่ายาก, เพราะถ้าคุณ
-
ได้สัญชาตญาณแล้ว, คุณก็ได้ไปเลย
-
แล้วถ้าผมบอกว่า, อย่างเช่น, ฟังก์ชันนี้, ไซ, และผมอยากหา
-
อนุพันธ์ย่อยของไซ, เทียบกับ x, อันแรก
-
ผมจะเขียนว่า ไซ
-
ผมไม่อยากเขียน x กับ y ทุกครั้ง
-
แล้วผมหาอนุพันธ์ย่อยเทียบ
-
กับ y
-
-
-
ตามสัญลักษณ์, อันนี้คุณสามารถเขียนเป็น, คุณสามาร
-
มองมันเหมือนกับคุณคูณโอเปอเรเตอร์เข้าไป, มัน
-
จึงสามารถเขียนแบบนี้ได้
-
อนุพันธ์ย่อย เดล กำลังสอง คูณ ไซ, หรือเดลกำลังสอง ไซ, ส่วน
-
เดล y เดล, หรือ d โค้ง x
-
และนั่นสามารถเขียนได้เป็น -- และนี่เป็นสัญลักษณ์
-
ที่ผมชอบ, เพราะมันไม่มีทิ้งอะไร
-
เกะกะไปหมด
-
คุณก็บอกได้ว่า, อนุพันธ์ย่อย, เราหาอนุพันธ์ย่อย,
-
เทียบกับ x ก่อน. นั่นก็หมายความว่าอนุพันธ์ย่อยของ
-
ไซ, เทียบกับ x
-
แล้วเราก็หาอนุพันธ์ย่อย, เทียบกับ y
-
นั่นคือกรณีแรกที่ต้องคิด
-
เกิดอะไรขึ้นเมื่อเราหาอนุพันธ์ย่อย, เทียบกับ x, แล้ว
-
ค่อยเทียบกับ y?
-
ตอนเทียบกับ x, คุณจับ y คงที่เพื่อให้
-
ได้อนุพันธ์ย่อย, เทียบกับ x
-
ไม่สน y ตรงนี้
-
แล้วคุณก็จับ x คงที่, แล้วคุณ
-
ก็หาอนุพันธ์ย่อย, เทียบกับ y
-
แล้วมันต่างกันไหม ถ้าเราสลับ
-
ลำดับ?
-
เกิดอะไรขึ้นถ้าเรา -- ผมจะใช้อีกสีนะ
-
-- ถ้าเรามี ไซ, และเราหาอนุพันธ์ย่อย,
-
เทียบกับ y ก่อน, แล้วเราค่อยหาอนุพันธ์ย่อย,
-
เทียบกับ x?
-
มันแค่่สัญลักษณ์, เพื่อให้คุณคุ้นเคยกับมัน,
-
มันก็คือ -- อนุพันธ์ย่อย x, อนุพันธ์ย่อย y
-
และนี่คือโอเปอเรเตอร์
-
มันอาจน่าสับสนหน่อย, ระหว่าง
-
สัญลักษณ์สองตัวนี้, ถึงแม้ว่ามันจะเหมือนกันก็ตาม,
-
แต่ลำดับสลับกัน
-
นั่นเป็นเพราะเราคิด
-
ถึงมันต่างกัน
-
นี่บอกว่า, โอเค, อนุพันธ์ย่อยเทียบกับ x ก่อน, แล้วค่อย y
-
นี่มองมันเป็นเหมือนโอเปอรเรเตอร์มากกว่า, เราจึง
-
หาอนุพันธ์ย่อยของ x ก่อน, แล้วเราค่อยหา y, ถ้าคุณ
-
คูณโอเปอเรเตอร์นั้น
-
แต่ช่างเถอะ, นี่ก็สามารถเขียนเป็น อนุพันธ์ย่อย
-
ของ y, เทียบกับ x -- ขอโทษที, อนุพันธ์ย่อยของ Y, แล้ว
-
เราค่อยหาอนุพันธ์ย่อยเทียบกับ x
-
ตอนนี้, ผมจะบอกคุณตอนนี้, ว่าถ้าอนุพันธ์ย่อย
-
แต่ละตัวนั้นต่อเนื่อง -- และฟังก์ชัน
-
ส่วนใหญที่เรายุ่งเกี่ยวในโดเมนทั่วไป, ตราบใดที่มัน
-
ไม่มีความไม่ต่อเนื่อง, หรือรู, หรือ
-
อะไรประหลาดๆ ในนิยามฟังก์ชัน, พวกมัน
-
มักจะต่อเนื่องกัน
-
และโดยเฉพาะในแคลคูลัสปีหนึ่ง หรือวิชา
-
ดิฟเฟอเรนเชียลแคลคูลัส, เรายุ่งกับฟังก์ชัน
-
ต่อเนื่องโดยส่วนใหญ่, โดเมนของเรา
-
ถ้าฟังก์ชันทั้งสองต่อเนื่อง, ถ้าอนุพันธ์ย่อย
-
ทั้งคู่ต่อเนื่อง, แล้วสองตัวนี้จะ
-
เท่ากัน
-
ดังนั้นไซ ของ xy เท่ากับ ไซของ yx
-
ตอนนี้, เราสามารถใช้ความรู้นี้, ซึ่งก็คือ
-
กฏลูกโซ่ใช้กับอนุพันธ์ย่อย, และความรู้นี้
-
เพื่อแก้สมการอนุพันธ์ชุดหนึ่ง
-
สมการอนุพันธ์อันดับหนึ่ง, ประเภทที่เรียกว่า
-
สมการแม่นตรง
-
แล้วสมการแม่นตรงหน้าตาเป็นอย่างไร?
-
สมการแม่นตรงเป็นแบบนี้
-
การเลือกสีนี่เป็นเรื่องยากนะ
-
สมมุติว่านี่คือสมการอนุพันธ์ของผม
-
ผมมีฟังก์ชันของ x กับ y
-
ไม่รู้สฺล มันอาจเป็น x กำลังสอง คูณ
-
โคไซน์ของ y อะไรสกัอย่าง
-
ไม่รู้เหมือนกัน, มันเป็นฟังก์ชันใดๆ ของ x กับ y
-
บวกฟังก์ชันของ x กับ y อีกตัว, เราจะเรียกมันว่า n, คูณ dy,
-
dx เท่ากับ 0
-
นี่คือ -- ตอนนี้, ผมยังไม่รู้ว่ามันเป็นสมการแม่นตรงหรือเปล่า
-
แต่ถ้าคุณเห็นอะไรในรูปนี้, ปฏิกิริยาแรกของคุณ
-
ควรเป็น, โอ้ -- อืม, ปฏิกริยาแรกของคุณ
-
น่าจะเป็นว่า, มันแยกตัวแปรได้หรือเปล่า?
-
และคุณควรลองเล่นกับพีชคณิตสักหน่อย
-
เพื่อดูว่าแยกได้หรือเปล่า, เพราะมัน
-
เป็นวิธีที่ตรงไปตรงมาที่สุด
-
ถ้ามันแยกตัวแปรไม่ได้, แต่คุณยังสามารถเขียนในรูปนี้ได้,
-
คุณก็บอกว่า, เฮ้, มันเป็นสมการแม่นตรงหรือเปล่า?
-
แล้วสมการแม่นตรงคืออะไร?
-
ทีนี้, ดูตรงนี้
-
รูปแบบนี่ตรงนี้ ดูเหมือนกับ
-
รูปแบบนี้มาก
-
ถ้าเกิด M เป็นอนุพันธ์ย่อยของไซ, เทียบกับ x ล่ะ?
-
ถ้าเกิด ไซ, เทียบกับ x, เท่ากับ M ล่ะ?
-
ถ้าเกิดนี่คือไซ, เทียบกับ x ล่ะ?
-
แล้วถ้า นี่คือไซ, เทียบกับ y ล่ะ?
-
ไซ, เทียบกับ y, เท่ากับ N
-
ถ้าเกิดใช่ล่ะ?
-
ผมบอกว่า, เราไม่รู้แน่ชัด, จริงไหม?
-
และคุณจะเห็นนี่บางโอกาส, คุณไม่มีทางรู้
-
ชัดว่านี่คืออนุพันธ์ย่อยของ, เทียบกับ x ของ
-
ฟังก์ชันสักตัว, และนี่คืออนุพันธ์ย่อย, เทียบกับ y ของ
-
ฟังก์ชันสักตัว
-
แต่ถ้าเราบอกว่า, ถ้าใช่ล่ะ?
-
ถ้านี่เป็นจริงล เราก็สามารถเขียนนี่ใหม่
-
ว่าอนุพันธ์ย่อยของไซ, เทียบกับ x, บวกอนุพันธ์ย่อยของไซ
-
เทียบกับ y, คูณ dy dx, เท่ากับ 0
-
แล้วเจ้านี่ตรงนี้, ทางซ้ายมือตรงนี้, นั่น
-
ก็เหมือนกับเจ้านี่, จริงไหม?
-
นี่ก็แค่อนุพันธ์ของไซ, เทียบกับ x, โดยใช้
-
กฎลูกโซ่ที่มีอนุพันธ์ย่อย
-
คุณจึงเขียนมันใหม่ได้
-
คุณสามารถเขียนมันใหม่ได้, นี่ก็แค่อนุพันธ์ของไซ,
-
เทียบกับ x, ข้างในฟังก์ชันของ x
-
y, เท่ากับ 0
-
แล้วถ้าคุณเห็นสมการอนุพันธ์อีกอัน, และมันอยู่
-
ในรูปนี้, คุณก็บอกว่า, นาย, ฉันแยกตัวแปรไม่ได้, แต่บางที
-
มันอาจเป็นสมการแม่นตรงก็ได้
-
และว่ากันตามตรง, ถ้ามันปรากฏอยู่ใน
-
ข้อสอบ, มันก็น่าจะเป็นสมการแม่นตรง
-
แต่ถ้าคุณเห็นรูปนี้, คุณก็บอกว่า, นาย, บางที
-
มันอาจเป็นสมการแม่นตรง
-
และถ้านี่คือสมการแม่นตรง -- และผมจะบอกวิธี
-
ทดสอบมันในไม่ช้าโดยใช้ข้อมูลนี้ -- แล้วนี่สามารถ
-
เขียนได้เป็น อนุพันธ์ของฟังก์ชันล ไซ, โดย
-
นี่คืออนุพันธ์ย่อยของไซ, เทียบกับ x
-
นี่คืออนุพันธ์ย่อยของไซ, เทียบกับ y
-
แล้วถ้าคุณเขียนมันแบบนี้, และคุณหา
-
อนุพันธ์ของทั้งสองด้าน -- ขอโทษที, คุณหา
-
แอนติเดริเวทีฟทั้งสองด้าน, คุณควรได้ ไซของ x, y
-
เท่ากับ c เป็นคำตอบ
-
มันมีสองอย่างที่เราควรสนใจ
-
คูณอาจบอกว่า, โอเค, ซาล, คุรบอกเรื่อง
-
ไซ, อนุพันธ์ย่อย, ทั้งหมดนี้มา
-
หนึ่ง, ฉันจะรู้ได้อย่างไรว่ามันเป็นสมการแม่นตรง?
-
แล้วก็, ถ้ามันสมการแม่นตรง, แล้วเราจะ
-
อยู่ได้อย่างไรว่าไซคืออะไร ฉันจะแก้หาไซได้อย่างไร?
-
ทีนี้วิธีหาว่ามันเป็นสมการแม่นตรงหรือไม่, เราใช้
-
ข้อมูลนี่ตรงนี้
-
เรารู้ว่าถ้า ไซ กับอนุพันธ์ของมันต่อเนื่อง
-
ตลอดทั้งโดเมน, แล้วเมื่อคุณหาอนุพันธ์ย่อย,
-
เทียบกับ x แล้วก็ y, นั่นจะเหมือนกับ
-
การหากลับลำกับกัน
-
เราจึงบอกว่า, นี่คืออนุพันธ์ย่อย,
-
เทียบกับ x, จริงไหม?
-
-
-
และนี่คืออนุพันธ์ย่อย, เทียบกับ y
-
แล้วถ้านี่คือสมการแม่นตรง, ถ้านี่คือสมการ
-
แม่นตรง, ถ้าเราหาอนุพันธ์ย่อยของเจ้านี่, เทียบ
-
กับ y, จริงไหม?
-
ถ้าเราหาอนุพันธ์ย่อยของ M, เทียบกับ y --
-
อนุพันธ์ย่อยของไซ, เทียบกับ x, เท่ากับ M
-
ถ้าเราหาอนุพันธ์ย่อยของพวกนั้น, เทียบกับ y --
-
เราก็เขียนมันใหม่ได้ว่า -- มันควรเท่ากับ
-
อนุพันธ์ย่อยของ N เทียบกับ x, จริงไหม?
-
อนุพันธ์ย่อยของ ไซ, เทียบกับ y, เท่ากับ N
-
แล้วถ้าเราหาอนุพันธ์ย่อย, เทียบกับ x, ของ
-
ทั้งสองตัวนี้, เรารู้จากอันนี้ ว่า พวกมันควรเท่ากัน, ถ้าไซ
-
กับอนุพันธ์ย่อยของมันต่อเนื่องตลอดโดเมนนั้น
-
นี่ควรเท่ากัน
-
นี่จึงเป็นวิธีเพื่อทดสอบว่า
-
นี่เป็นสมการแม่นตรงหรือไม่
-
ขอผมเขียนพวกนี้ใหม่ทั้งหมด และสรุป
-
มันหน่อย
-
ถ้าคุณอะไรสักอย่างในรูปนี้, M ของ x, y บวก N ของ x,
-
y, คูณ dy dx เท่ากับ 0
-
แล้วคุณหาอนุพันธ์ย่อยของ M เทียบกับ y,
-
แล้วคุณหาอนุพันธ์ย่อยของ N,
-
เทียบกับ x, แล้วพวกมันเท่ากัน, แล้ว --
-
ที่จริงแล้วคือ ก็ต่อเมื่อ, มันไปทั้งสองทาง --
-
นี่คือสมการแม่นตรง, เป็นสมการอนุพันธ์แบบแม่นตรง
-
นี่ก็คือสมการแม่นตรง
-
และถ้ามันเป็นสมการแม่นตรง, นั่นบอกเราว่า มันมี
-
ไซ, ที่มีอนุพันธ์ของไซ x,y
-
เท่ากับ 0, หรือไซของ x, y เท่ากับ c, เป็นคำตอบ
-
ของสมการนี้
-
แล้วอนุพันธ์ย่อยของไซ, เทียบกับ x
-
เท่ากับ M
-
และอนุพันธ์ย่อยของไซ เทียบกับ y
-
เท่ากับ N
-
และผมจะแสดงให้ดูในวิดีโอหน้า ว่าเราจะใช้ข้อมูลนี้
-
เพื่อแก้หาไซได้อย่างไร
-
ตรงนี้ มีบางอย่างที่ผมอยากชี้ให้เห็น
-
นี่จะเป็นอนุพันธ์ย่อยของไซ,
-
เทียบกับ x, แต่ตอนเราทดสอบความแม่นตรง,
-
เราหามันเทียบกับ y, เพราะเราอยากได้
-
อนุพันธ์ย่อยผสม
-
เช่นเดียวกัน, นี่จะเท่ากับอนุพันธ์ย่อยของไซ
-
เทียบกับ y, แต่ตอนเราทดสอบ, เราจะ
-
หาอนุพันธ์ย่อยของมันเทียบกับ x เราถึงจะได้
-
อนุพันธ์ย่อยผสม
-
นี่คือเทียบกับ y, แล้วเทียบกับ
-
x, คุณจะได้อันนี้
-
เอาล่ะ, ผมรู้ว่ามันซับซ้อนหน่อย, แต่ถ้า
-
คุณเข้าใจทุกอย่างที่ผมทำ, ผมว่าคุณน่าจะ
-
มีสัญชาตญาณแล้วว่าทำไมวิธีการของ
-
สมการแม่นตรงถึงใช้ได้
-
ผมจะพบคุณใหม่ในวิดีโอหน้า, โดยเราจะ
-
แก้สมการแม่นตรงกันจริงๆ แล้วเจอกันครับ
-
-
