-
בסרטון האחרון התוודענו לרעיון של
-
חוק השרשרת עם נגזרות חלקיות.
-
ואמרנו שאם יש לנו פונקציה, פסאיי, אות יוונית,
-
פסאיי, זו פונקציה של X ושל Y.
-
ואם נרצה לקחת את החלקי של זה, ביחס
-
ל...לא, אנו רוצים את הנגזרת, לא את החלקי..
-
את הנגזרת של זה, ביחס ל X, זה שווה
-
לחלקי של פסאיי, ביחס ל X, ועוד החלקי
-
של פסאיי, ביחס ל Y, כפול DY, DX.
-
ובסרטון האחרון לא הוכחנו את זה, אבל
-
קיבלנו מעט אינטואיציה כדי
-
שנוכל להאמין.
-
אבל אולי יום אחד נוכיח את זה יותר
-
בקפידה, אבל ניתן למצוא הוכחות ברשת
-
עבור חוק השרשרת עם נגזרות חלקיות.
-
אז בואו נשים את זה בצד ונחקור
-
איכות אחרת של נגזרות חלקיות, ואז אנו מוכנים
-
לקבל את האינטואיציה שעומדת מאחורי המשוואה המדויקת.
-
כיוון שאתם עומדים למצוא, זה דיי מיידי
-
לפתור משוואות מדויקות, אבל האינטואיציה זה קצת
-
יותר..זה לא קשה, כיוון שאם יש
-
לכם אינטואיציה, יש לכם את זה.
-
אז מה אם היה לנו, נגיד, את הפונקציה הזו, פסאיי, ואנו
-
צריכים לקחת את הנגזרת החלקית של פסאיי, ביחס ל X, כדבר ראשון.
-
נכתוב פסאיי.
-
אין צורך לכתוב X ו Y כל פעם.
-
ואז צריך לקחת את הנגזרת החלקית
-
ביחס ל Y.
-
אז רק כציון, ניתן לכתוב זאת, ניתן
-
לחשוב על זה כאילו אתם מכפילים את המקדמים, אז
-
ניתן לכתוב את זה כך.
-
הדי החלקי בריבוע כפול פסאיי, או די בריבוע פסאיי, לחלק
-
די Y די, או DX מפותל.
-
וניתן לכתוב זאת גם כ-- וזו הציון המועדף עליי
-
כיוון שאין בזה את כל העודפים המיותרים האלה
-
בכל מקום.
-
ניתן פשוט לומר, שלוקחים קודם את החלקי,
-
ביחס ל X. זה פשוט אומר החלקי של פסאיי,
-
ביחס ל X.
-
ואז לוקחים את החלקי, ביחס ל Y.
-
זוהי דרך אחת להתיחס.
-
מה יקרה אם ניקח את החלקי, ביחס ל X,
-
ואז Y?
-
אז ביחס ל X, יש לנו Y קבוע כדי לקבל
-
את החלקי, ביחס ל X.
-
התעלמו מה Y שם.
-
ואז אתם מחזיקים ב X קבוע, ואתם לוקחים את החלקי
-
ביחס ל Y.
-
אז מה ההבדל בין זה ואם
-
נחליף את המעלה?
-
אז מה יקרה אם אנו....רגע, נחליף
-
צבע, אם היה לנו פסאיי, ואנו רוצים לקחת את החלקי,
-
ביחס ל Y, קודם, ואז ניקח את החלקי,
-
ביחס ל X?
-
אז הסימן, כדי יהיה לכם נוח,
-
זה יהיה.. חלקי של X, חלקי של Y.
-
וזה המקדם.
-
וזה יכול להיות מעט מבלבל, בין
-
שני הסימנים כאן, על אף שהם אותו הדבר,
-
הסדר מבולבל.
-
זה מכיוון שזה רק דרך
-
אחרת לחשוב על זה.
-
זה אומר, בסדר, קודם חלקי, ביחס ל X, אח"כ Y.
-
זה נותן לזה היבט יותר של מקדם, אז אנו לוקחים
-
את החלקי של X קודם, ואז לוקחים את Y, כמו
-
שאנו מכפילים את המקדמים.
-
אבל בכל מקרה, זה יכול להכתב בצורה של החלקי של
-
Y, ביחס ל X...סליחה, החלקי של Y, ואז
-
אנו לוקחים את החלקי של זה ביחס ל X.
-
כעת, אם כל אחד
-
מהחלקיים הראשונים הוא מתמשך..ורוב
-
הפונקציות שעסקנו בהן באתר רגיל, כל זמן
-
שאינן חסרות המשכיות, או חורים, או
-
משהו מוזר בהגדרת הפונקציה, הן
-
בדרך כלל המשכיות.
-
ובעיקר בשנה הראשונה של הקורס בחדו"א או
-
בדיפרנציאלים, כנראה שנעסוק בפונקציות
-
המשכיות, באתר שלנו.
-
אם שתי הפונקציות הינן המשכיות, אם שני החלקים
-
הראשונים הם המשכיים, אז שני אלו יהיו
-
שווים אחד לשני.
-
אז פסאיי של X Y יהיה שווה לפסאיי של YX.
-
כעת ניתן להשתמש במידע הזה, שזה
-
חוק השרשרת בשימוש בנגזרות חלקיות,
-
והידע הזה עד כה מאפשר פתרון של קבוצה מסוימת
-
של משוואות דיפרנציאליות, משוואות דיפרנציאליות מסדר ראשון,
-
הנקראות משוואות מדויקות.
-
ואיך משוואות מדויקות נראות?
-
משוואות מדויקות נראות כך.
-
בחירת צבע זה הדבר הקשה.
-
נניח שזו המשוואה הדיפרנציאלית שלנו.
-
יש לנו כמה פונקציות של X ושל Y.
-
אז נניח, זה יכול להיות X בריבוע כפול
-
cos של Y או משהו.
-
זה יכול להיות של פונקציה של X ו Y.
-
ועוד כמה פונקציות של X ו Y, נקרא לזה n, כפול DY,
-
DX שווה ל 0.
-
וזה...לא ברור אם זה כבר משוואה מדויקת,
-
אבל אם רואים משהו בצורה הזו, הרושם הראשון
-
צריך להיות ,
-
האם זה ניתן להפרדה?
-
ואתם צריכים לשחק מעט עם האלגברה
-
לראות אם זה ניתן להפרדה, כיוון
-
שזו תמיד הדרך הנוחה ביותר.
-
אם זה לא ניתן להפרדה, אבל עדיין אתם יכולים לכתוב זאת בצורה הזו,
-
אתם שואלים האם זו משוואה מדויקת?
-
ומהי משוואה מדויקת?
-
הביטו,
-
התבנית הזו כאן נראית
-
ממש כמו התבנית הזו.
-
מה אם M היא החלקי של פסאיי, ביחס ל X?
-
מה אם פסאיי, ביחס ל X, שווה ל M?
-
מה אם זה היה פסאיי, ביחס ל X?
-
ומה אם זה היה פסאיי, ביחס ל Y?
-
אז פסאיי, ביחס ל Y, שווה ל N.
-
ומה אם?
-
הכוונה שאנו לא יודעים בוודאות, נכון?
-
אם רואים את זה באופן אקראי, לא נדע
-
שזה החלקי של פונקציה ביחס ל X,
-
וזה החלקי, ביחס ל Y של
-
איזה פונקציה.
-
אבל אנו רק אומרים, מה אם?
-
אם זה היה נכון, אז היינו יכולים לכתוב זאת מחדש
-
כחלקי של פסאיי, ביחס ל X, ועוד החלקי של פסאיי,
-
ביחס ל Y, כפול DY, DX, שווה ל 0.
-
והדבר הזה כאן, הצד השמאלי כאן, זה
-
אותו הדבר כמו זה, נכון?
-
זה רק הנגזרת של פסאיי, ביחס ל X,
-
כאשר משתמשים בחוק השרשרת של נגזרת חלקית.
-
אז ניתן לכתוב זאת מחדש.
-
ניתן לכתוב, זו הנגזרת של פסאיי,
-
ביחס ל X, בתוך הפונקציה של של X,
-
Y, שווה ל 0.
-
אז אם רואים משוואה דיפרנציאלית, ויש לה
-
את הצורה הזו, ואנו לא יכולים להפריד אותה, אבל
-
אולי זו משוואה מדויקת.
-
והאמת שזה מה שנחשב קודם
-
למשוואה מדויקת.
-
אבל אם אתם רואים צורה זו, אתם חושבים שאולי
-
זו משוואה מדויקת.
-
אם זוהי משוואה מדויקת,..ותיכף נראה איך בוחנים זאת
-
כשנשתמש בנתונים האלו..אז זה יכול
-
להכתב כנגזרת של כמה פונקציות, פסאיי,
-
שבו זה החלקי של פסאיי, ביחס ל X.
-
זה החלקי של פסאיי, ביחס ל Y.
-
ואז אם אתם יכולים לכתוב זאת כך, ואתם
-
לוקחים את הנגזרת של שני הצדדים, סליחה, אתם לוקחים
-
את האנטי נגזרת של שני הצדדים, ותקבלו פסאיי של X,
-
Y שווה ל c כפתרון.
-
אז ישנם שני דברים שצריך לשים לב אליהם.
-
ואז אתם תוהים,
-
עברתם על פסאיי, ועל חלקיים, וכל זה.
-
ראשית, איך נדע שזו משוואה מדויקת?
-
ושנית, אם זו משוואה מדויקת, שאומרת לנו
-
שיש איזה פסאיי, אז איך אנו נגיע לפתרון של פסאיי?
-
הדרך לדעת זאת, היא באמצעות משוואה מדויקת, זה להשתמש
-
במידע הזה שכאן.
-
אנו יודעים שאם פסאיי, והנגזרות שלו מתמשכים לאורך
-
כמה אתרים, שכאשר אתם לוקחים את החלקי,
-
ביחס ל X ואז ל Y, זה אותו הדבר כמו לעשות
-
את זה בסדר האחר.
-
אז אנו אומרים, זה החלקי,
-
ביחס ל X, נכון?
-
וזה החלקי, ביחס ל Y.
-
אז אם זוהי משוואה מדויקת, אם זוהי המשוואה
-
המדויקת, אם היינו לוקחים את החלקיים של זה, ביחס
-
ל Y, נכון?
-
אם ניקח את החלקי של M, ביחס ל Y, אז
-
החלקי של פסאיי, ביחס ל X, שווה ל M.
-
אם ניקח את החלקי של אלו, ביחס ל Y,
-
אז נוכל לכתוב זאת בדרך הזו, ואז זה צריך להיות
-
שווה לחלקי של N, ביחס ל X, נכון?
-
החלקי של פסאיי, ביחס ל Y, שווה ל N.
-
אז אם ניקח את החלקי, ביחס ל X, של שני אלו,
-
אנו יודעים מזה שאלו צריכים להיות שווים, אם פסאיי,
-
והחלקיים שלו מתמשכים לאתרים אלו.
-
אז זה גם יהיה שווה.
-
אז זה למעשה המבחן לבחון אם
-
זוהי משוואה מדויקת.
-
אז נכתוב את כל זה מחדש ונסכם מעט
-
אז אם אתם רואים משהו בצורה של, M של X, Y ועוד N של X,
-
Y, כפול DY, DX שווה ל 0.
-
ואז אתם לוקחים את הנגזרת החלקית של M, ביחס
-
ל Y, ואז אתם לוקחים את הנגזרת החלקית של N,
-
ביחס ל X, והם שווים אחד לשני, ואז..
-
וזה למעשה, רק אם, אז זה ילך לשני הכיוונים..
-
זוהי משוואה מדויקת, משוואה דיפרנציאלית מדויקת.
-
זוהי משוואה מדויקת.
-
ואם זוהי משוואה מדויקת, זה אומר לנו שיש
-
פסאיי, כזה שהנגזרת של פסאיי של X, Y שווה
-
ל 0, או פסאיי של X ,Y, שווה ל c, זה הפתרון
-
של המשוואה הזו.
-
והנגזרת החלקית של פסאיי, ביחס ל X,
-
שווה ל M.
-
והנגזרת החלקית של פסאיי, ביחס ל Y,
-
שווה ל N.
-
ונראה בסרטון הבא איך להשתמש במידע
-
הזה כדי לפתור עבור פסאיי.
-
אז יש פה כמה דברים להדגשה.
-
זו תהיה הנגזרת החלקית של פסאיי,
-
ביחס ל X, אבל אם אנו עושים את מבחן הדיוק,
-
אנו לוקחים זאת ביחס ל Y, כיוון שאנו רוצים
-
לקחת את הנגזרות המעורבות האלו.
-
באופן דומה, זה יהיה הנגזרת החלקית של פסאיי,
-
ביחס ל Y, אבל כאשר אנו עושים את המבחן, אנו לוקחים את
-
החלקי של זה ביחס ל X כך שנקבל
-
את הנגזרת המעורבת.
-
זה ביחס ל Y, ואז ביחס
-
ל X, אז קיבלתם זאת.
-
יכול להיות שזה קצת מסובך,
-
אבל אם הצלחתם לעקוב על מה שעשינו פה
-
אז יש לכם את האינטואיציה וההבנה של איך
-
עובדת השיטה של משוואות מדויקות.
-
נתראה בסרטון הבא
-
ונפתור כמה משוואות מדויקות.