Täisdifrentsiaalvõrrandid intuitiivselt 2

More intuitive building blocks for exact equations.

Eelmises videos rääkisin teile mitme muutuja funktsiooni tuletisest.

Eelmises videos rääkisin teile mitme muutuja funktsiooni tuletisest.

Me nägime, et kui meil on fuktsioon psii, kreeka täht psii,

mis on funktsioon x-ist ja y-ist,

siis selle osatuletis--

ei, ma tahan selle tuletist, mitte osatuletist.

Selle tuletis x-i järgi võrdub

psii osatuletis x-i järgi

pluss psii osatuletis y-i järgi korda dy dx.

Viimases videos ma ei tõestanud seda ära,

aga loodetavasti saite intuitiivselt aru,

et see võiks tõepoolest kehtida.

Kunagi ma võib-olla tõestan selle formaalsemalt ära,

aga te võite selle tõestusi internetist otsida, kui teid huvitab.

aga te võite selle tõestusi internetist otsida, kui teid huvitab.

Vaatame nüüd ühte teist osatuletiste omadust

ja siis saame täisdiferentsiaalvõrrandite juurde minna.

ja siis saame täisdiferentsiaalvõrrandite juurde minna.

Täisdiferentsiaalvõrrandite lahendamine on üsna kerge,

aga mõista, miks neid niimoodi lahendada saab--

ma ei taha öelda, et see on keeruline,

sest kui te ühe korra aru saate, siis on korras.

Olgu meil siis funktsioon psii

ja ma võtan selle osatuletise x-i järgi, alustuseks.

Ma kirjutan lihtsalt psii,

ma ei pea iga kord x ja y kirjutama.

Ja siis võtan selle osatuletise y-i järgi.

Ja siis võtan selle osatuletise y-i järgi.

Tähistuse mõttes on see täpselt sama, kui--

mõttes need operaatorid läbi korrutada,

ja kirjutada selliselt:

d ruudus korda psii,

jagatud dy dx.

Ja mina eelistan seda tähistada hoopis nii,

sest siis ei ole üleliigset kirjutamist.

sest siis ei ole üleliigset kirjutamist.

Me võime lihtsalt kirjutada osatuletis x-i järgi,

kuna me võtsime alguses x-i järgi. See tähendabki

psii osatuletist x-i järgi.

Ja siis võtsime osatuletise y-i järgi

See on üks võimalus.

Mis juhtub, kui me võtame osatuletise x-i järgi,

ja siis y-i järgi?

x-i järgi võttes loeme y-i konstandiks ja saame

osatuletise x-i järgi.

Ignoreerime y-it.

Ja siis loeme x-i konstandiks

ja võtame y-i järgi osatuletise.

Ja mis muutub, kui me seda järjekorda muudame?

Ja mis muutub, kui me seda järjekorda muudame?

Ma kirjutan selle teise värviga.

Kui meil on psii ja me võtame alguses y-i järgi osatuletise,

Kui meil on psii ja me võtame alguses y-i järgi osatuletise,

ja siis x-i järgi osatuletise?

Nii et tähistame seda niimoodi:

Osatuletis x-i ja siis y-i järgi.

Ja see on operaator.

Need tähistused võivad natuke segadust tekitada,

sest kuigi nad on sama asi,

siis järjekord on erinev.

See on lihtsalt teistsugune tähistus.

See on lihtsalt teistsugune tähistus.

See ütleb, et esiteks osatuletis x-i, ja siis y-i järgi.

Siin vaadeldakse seda pigem operaaatorina,

ehk alguses võtsime x-i osatuletise ja siis y-i,

ja operaatorid on korrutatud.

Seda saab siis kirjutada ka kui osatuletis y-i järgi,

ja siis võtame selle osatuletise x-i järgi.

ja siis võtame selle osatuletise x-i järgi.

Ma ütlen teile kohe, et kui mõlemad osatuletised on pidevad--

ja enamiku funktsioonide puhul, mida me näinud oleme,

kui neil pole katkevuskohti või auke

või midagi muud imelikku,

siis nad on üldiselt pidevad.

siis nad on üldiselt pidevad.

Esimese aasta analüüsi ja diferentsiaalvõrrandite

kursustel me üldiselt tegeleme pidevate funktsioonidega.

kursustel me üldiselt tegeleme pidevate funktsioonidega.

Kui mõlemad need funktsioonid on pidevad

ja kui esimesed osatuletised on pidevad,

siis need kaks on võrdsed.

Nii et psii xy-ist võrdub psii yx-ist.

Nüüd me saame seda teadmist,

mitme muutuja funktsiooni tuletist,

ja seda tulemust kasutada, et

lahendada teatavat tüüpi diferentsiaalvõrrandeid,

esimest järku diferentsiaalvõrrandeid,

mida kutsutakse täisdiferentsiaalvõrranditeks.

mida kutsutakse täisdiferentsiaalvõrranditeks.

Ja kuidas näeb välja täisdiferentsiaalvõrrand?

See näeb välja selline.

Raske on värvi valida.

Ütleme, et see on minu diferentsiaalvõrrand.

Mul on mingi funktsioon x-ist ja y-ist.

Näiteks x ruudus korda koosinus y-ist.

Näiteks x ruudus korda koosinus y-ist.

Ükskõik milline funktsioon x-ist ja y-ist.

Pliss mingi funktsioon x-ist ja y-ist, tähistame selle N,

korda dy dx võrdub 0.

Me ei tea veel, kas see on täisdiferentsiaalvõrrand,

aga kui te midagi sellist näete, siis--

esimene reaktsioon võiks olla,

et kas see on eraldatavate muutujatega võrrand?

Ja peaks proovima seda natuke teisendada,

ja püüdma muutujaid eraldada, sest

see on kõige lihtsam moodus.

Aga kui muutujaid ei saa eraldada, aga ta on sellisel kujul,

siis kas ta on täisdiferentsiaalvõrrand?

Mis on täisdiferentsiaalvõrrand?

Vaadake seda.

See muster siin on väga sarnane selle mustriga.

See muster siin on väga sarnane selle mustriga.

Äkki M on psii osatuletis x-i järgi?

Äkki psii osatuletis x-i järgi on võrdne M-iga?

Mis siis, kui see oleks psii x-i järgi,

ja see oleks psii y-i järgi?

Psii y-i järgi võrdub N.

Mis siis juhtuks?

Me ju ei tea tegelikult kindlalt.

Kui sa näed sellist asja, siis sa ei saa kohe kindel olla,

et see on mingi funktsiooni osatuletis x-i järgi,

ja see on osatuletis y-i järgi.

ja see on osatuletis y-i järgi.

Aga kui see oleks nii?

Kui see oleks tõsi, siis me saaks selle ümber kirjutada, kui

psii osatuletis x-i järgi pluss psii osatuletis y-i järgi,

korda dy dx võrdub 0.

Ja see vasak pool, on ju täpselt sama mis siin.

Ja see vasak pool, on ju täpselt sama mis siin.

See ongi psii tuletis x-i järgi,

kasutades liitfunktsiooni osatuletise reeglit.

Nii et me saame selle ümber kirjutada,

see on lihtsalt psii tuletis x-i järgi,

ja psii on funktsioon x-ist ja y-ist,

võrdub null.

Nii et kui te kohtate sellisel kujul diferentsiaalvõrrandit,

ja te ei saa muutujaid eraldada,

siis äkki on see täisdiferentsiaalvõrrand.

Ja kui seda teemat võeti vahetult enne eksamit,

siis ilmselt ta seda ka on.

Aga kui te näete seda kuju,

siis vaadake, kas see on täisdiferentsiaalvõrrand.

Kui on-- ja ma kohe näitan, kuidas seda kontrollida,

kasutades seda infot siin-- siis võib kirjutada,

et see on mingi funktsiooni psii tuletis,

kus see on osatuletis x-i järgi.

See on psii osatuletis y-i järgi.

Ja kui te kirjutate selle niimoodi välja,

ja integreerite mõlemat poolt,

siis te saate lahendiks

psii x-ist ja y-ist võrdub c.

On kaks asja, mis meid peaks huvitama.

Te võite öelda, et Sal, sa oled rääkinud igasugustest

psiidest ja osatuletistest,

Aga kuidas ma tean, kas see on täisdiferentsiaalvõrrand?

Ja kui see on, siis kuidas ma leian selle psii?

Ja kui see on, siis kuidas ma leian selle psii?

Et kindlaks teha, kas see on täisdiferentsiaalvõrrand,

tuleb seda võrdust kasutada.

Me teame, et kui psii ja tema tuletised on pidevad

mingis piirkonnas, siis selle osatuletis x-ist ja seejärel y-ist,

on sama, kui siis, kui sa võtaksid neid teistpidi.

on sama, kui siis, kui sa võtaksid neid teistpidi.

Me ütlesime, et see on osatuletis x-i järgi.

Me ütlesime, et see on osatuletis x-i järgi.

Ja see on osatuletis y-i järgi.

Kui see on täisdiferentsiaalvõrrand,

siis kui me võtame selle osatuletise y-i järgi -

siis kui me võtame selle osatuletise y-i järgi -

kui me võtame M-i osatuletise y-i järgi,

ja psii osatuletis x-i järgi võrdub M,

Kui võtta nende osatuletis y-i järgi,

siis see peaks võrduma

N-i osatuletisega x-i järgi.

Psii osatuletis y-i järgi võrdub N.

Nii et kui me võtame nendest osatuletise x-i järgi,

siis me teame, et need peavad omavahel võrdsed olema,

kui psii ja tema osatuletised on pidevad selles piirkonnas.

Järelikult on ka need võrdsed.

Niimoodi saabki kontrollida, kas tegemist on

täisdiferentsiaalvõrrandiga.

Ma kirjutan selle kõik nüüd uuesti välja ja kordan üle.

Ma kirjutan selle kõik nüüd uuesti välja ja kordan üle.

Kui te näete võrrandit kujul M x-ist, y-ist

pluss N x-ist, y-ist korda dy dx võrdub 0,

ja võtate M-i osatuletise y-i järgi,

ning N-i osatuletise x-i järgi,

ja kui nad on omavahel võrdsed, siis--

tegelikult siis ja ainult siis, see läheb mõlemat pidi--

siis on see täisdiferentsiaalvõrrand.

Ja kui see on täisdiferentsiaalvõrrand,

siis leidub selline psii, et psii tuletis võrdub 0

või psii tuletis võrdub c, on selle võrrandi lahend.

Ja psii osatuletis x-i järgi võrdub M,

Ja psii osatuletis x-i järgi võrdub M,

ja psii osatuletis y-i järgi võrdub N.

ja psii osatuletis y-i järgi võrdub N.

Järgmises videos ma näitan täpsemalt,

kuidas seda psiid leida.

Ma tahan paari asja rõhutada.

See on psii osatuletis x-i järgi,

aga kui me teeme täisdiferentsiaalvõrrandi kontrolli,

siis me võtame tema osatuletise y-i järgi,

sest me tahame saada segatuletist.

Ja samamoodi, see on psii osatuletis y-i järgi,

aga kontrollimiseks võtame sellest osatuletise x-i järgi,

et saada segatuletist.

et saada segatuletist.

See on y-i järgi ja siis x-i järgi, ja siis saame selle.

See on y-i järgi ja siis x-i järgi, ja siis saame selle

Seda kõike võis olla natuke raske jälgida,

aga kui te kõigest aru saite,

siis te mõistate ka

miks neid võrrandeid niimoodi lahendada saab.

Näeme järgmises videos, kus lahendame mõne

täisdiferentsiaalvõrrandi.

Näeme varsti.