Exact Equations Intuition 2 (proofy)

More intuitive building blocks for exact equations.

V minulém videu jsem představil myšlenku parciálního derivování

složené funkce.

A řekli jsme, že když máme funkci psi, řecké písmeno,

psi, to je funkce proměnné x a y.

A kdybych chtěl udělat parciální derivaci tohoto podle --

ne já chci udělat derivaci, ne parciální derivaci --

derivaci tohoto podle x, to je rovno

parciální derivaci psi podle x plus parciální derivaci

psi podle y krát dy dx.

A v minulém videu jsem to nedokázal, ale

naštěstí jsem vám dal nějakou představu, takže mi můžete

věřit.

Možná jednou to dokážu více

precizněji, ale můžete najít důkaz na webu, pokud vás

zajímá derivování složené funkce u parciálních derivací.

Takže nechme to teď být a pojďme odhalit další vlastnost

parciální derivace a potom bude schopni pochopit

exaktní rovnice.

Protože zjistíte, že to je velmi přímočaré

řešit exaktní rovnice, ale pochopení je trochu

více -- nechci říct těžší, protože když

to pochopíte, tak už to vlastně máte.

Co kdybych měl, řekněme tuto funkce psi a

udělal bych parciální derivace psi podle x prvně.

Napíšu psi.

Nemusím psát x a y pokaždé.

A potom bych udělal parciální derivaci

podle y.

Jen podle notace, toto můžete psát jako, můžete

se na to trochu dívat jako na násobení operátorů,

můžete to tedy psát takto.

Parciální derivace (del) na druhou krát psi nebo del na druhou psi, dělěno

del y del nebo dx.

A to může být taky napsáno jako -- a to já preferuji,

protože to nemám všechny ty zbytečnosti

okolo.

Můžete prostě říct, parciální derivace, prvně jsme parciálně zderivovali

podle x. To znamená udělali jsme parciální derivaci

psi podle x.

A potom parciální derivaci podle y.

Takže to je jedna situace k zvážení.

Co se stane když děláme parciální derivaci podle x

a potom podle y?

Podle x považujete y za konstantu abyste dostali

parciální derivaci podle x.

Ignorujete y.

A potom x je konstantou a děláte

parciální derivaci podle y.

Jaký je rozdíl mezí tímto a tím kdybychom

zaměnili pořadí?

Co se stane kdybychom -- napíšu to jinou

barvou -- kdybychom měli psi a dělali bychom parciální derivaci prvně

podle y a potom

podle x?

Přesně podle notace, je abyste s tím byli obeznámeni

to by mělo být -- takže parciální derivace x, parciální derivace y.

A toto je operátor.

To může být trochu matoucí tady, mezi

těmito dvěma zápísy, ačkoliv zamenají to stejné,

pořadí je opačné.

To protože to je jiný způsob

přemýšlení o tom.

Toto říká, ok, prvně parciální derivace podle x a potom podle y.

Tohle na to pohlíží více jako operátor, takže udělámě prvně

parciální derivaci podle x, a potom podle y, jako kdybyste

násobili operátory.

Nicméně, toto může být napsáno jako parciální derivace

y podle x -- pardon -- parciální derivace y a potom

uděláme parciální derivaci podle x.

Nyní vám řeknu, že když každá z

prvních parciálních derivací je spojitá -- a většina

funkcí se kterými my normálně pracujeme, dokud

neexistují žádné nespojisti, díry nebo

nějaké zvláštnosti v definici dané funkce,

jsou tyto funkce obvykle spojité.

Zvláště v prvním ročníku analýzy

se pravděpodobně budeme zabývat spojitými

funkcemi.

Jestliže obě z těchto funkcí jsou spojité a jestliže

jejich první parciální derivce jsou spojité potom tyto dva zápísy

jsou si rovny.

takže psi podle xy bude rovno psi podle yx.

Teď můžeme použit tento poznatek, který je pravidle pro

derivování složené funkce používající parciální derivace a

tento poznatek nyní vyřeší určitý typ diferenciálních

rovnic, rovnice prvního řádu nazývané

exaktní rovnice.

A jak exaktní rovnice vypadá?

Exaktní rovnice vapadá takto.

Složitý výběr barvy.

Řekněme, že tohle je moje diferenciální rovnice.

Mám nějakou funkci proměných x a y.

Nevím, to může být x na druhou krát

cosinus y nebo něco.

Může to být jakákoliv funkce x a y.

Plus nějaká funkce x a y, budeme ji říkat N, krát dy,

dx je rovno 0.

To je -- dobře, ještě nevím jestli to je exaktní rovnice,

ale když uvidíte něco takového, první impuls

by měl být -- dobře, vlastně, váš ůplně první

impuls je jestli je to separovatelná rovnice?

A měli byste zkusit použít nějakou algebru

abyste zjistili zda je to separovatelní rovnice, protože to

vždycky nejpříměší způsob.

Jestli to není separovatelná rovnice, ale můžete to převést do této podoby,

řekne, hey, je to exaktní rovnice?

A co je exaktní rovnice?

Dobře, podívejme se na to.

Tento vzorec tady vypadá strašlivě

jako tento vzorec.

Co kdyby M byla parciální derivace psi podle x?

Co když psi podle x je rovno M?

Co když toto je psi podle x?

A co kdyby toto bylo psi podle y?

Takže psi podle y je rovno N.

Co když?

Jen říkám nevíme to jistě, ano?

Jestliže uvidíte náhodou toto někde, nebudete vědět

jistě, zda je to parciální derivace podle x nějaké

funkce a toto je parciální derivace podle y

nějaké funkce.

Ale jen říkáme co když?

Kdyby to byla pravda, mohli bychom to přepsat jako

parciální derivace psi podle x plus parciální derivace psi

podle x krát dy dx se rovna 0.

A toto tady, ta leva strana, to je

stejná věc jako tady, ano?

To je prostě derivace psi podle x používající

pravidlo pro derivování složené funkce pro parciální derivace.

Takže to můžete přepsat.

Můžete to přepsat, toto je derivace psi

podle x, uvnitř funkce funkce proměnných x

y je rovno 0.

Takže když se podíváte, uvidíte diferenciální rovnici a ta má tento

tvar, a řekne, tohle nemůžu rozdělí, ale možná

to je exaktní rovnice.

A upřímně