الحدس المنطقي في معادلات التفاضل الثابتة 2

بناء قوالب رياضية حدسية لمعادلات التفاضل الثابتة.

لقد قدمت لكم

فكرة حول

"قانون تراتبية المشتقات الجزئية"

وقلنا: حسنا؛ إذا كان لدي الدالة بسي (psi: ψ): حرف يوناني

فهي دالة على وظيفة الدالة x و y

وإذا أردتُ أن أتناول المشتق الجزئي من "بسي" بالنظر إلى الدالة x

عفواً، إذا أردت أن آخذ المشتق الكامل وليس المشتق الجزئي

من "بسي" مع الرمز x، فإن ذلك يتطابق مع

الدالة الجزئية: بسي (psi: ψ) بالإشارة إلى x وأيضاً

بالإشارة إلى الرمز y، مع المتغيرات المتكررة dy و dx.

لم يتسن لي إثبات ذلك في نهاية هذا التسجيل

لكني أتمنى أن أكون قد قدمت فكرة أولية تدفعك إلى

تصديق ما ذكرت

ولعله من الممكن أن أثبت لك ما ذكرت بشكل

أبلغ، ولعله أيضاً من الممكن أن تجد ما يثبت ذلك بالبحث عنه في الإنترنت إذا كنت

مهتماً بمسألة قواعد تراتبية المشتقات الجزئية الرياضية

دعونا هنا نضع هذه المسألة جانباً، وننظر إلى خاصية أخرى

من المشتقات الجزئية، وبعدها نكون على استعداد للحصول

على ما هو بديهي بالمنطق الرياضي وراء معادلات محددة

بما أنك سوف تكتشف ذلك بنفسك لاحقاً، أرى أنه من البديهي

حل معادلات محددة، لكن الحدس الرياضي أو المنطقي لربما كان

أكثر صعوبة. حسناً لا أريد أن أصفه بهذا الوصف، لأن

الحدس المنطقي ملكة يمكن أن تمتلكها

لذا ماذا لو كانت لدي الدالة بسي (psi: ψ)، وأردت أن أستخرج

المشتق الجزئي منها بواسطة الإشارة إلى الرمز x. أولاً:

سوف أكتب هذه الدالة كما هي: الدالة الجزئية "بسي" psi

لست مضطراً هنا إلى كتابة الرمز y أو x في كل مرة

يكفي هنا أن أشير إلى المشتق المتحيز مع

الإشارة إلى الرمز y

يمكن أن تكتب المعادلة

باستخدام تنويتة (قائمة علامات) الرموز الرياضية،

أو كما لو كنت تريد أن تزيد من القيم العددية بشكل تلقائي

ولذا فإنه من الممكن كتابتها على هذه الطريقة على النحو التالي:

الدالة الجزئية (دلتا) أُسّ 2 ضرب "بسي"، أو الدالة أس "بسي"

على دلتا y ودلتا x المعقوص

ويمكن كتابتها بطريقة مختلفة؛ إلا أن هذه الطريقة هي الطريقة التي أفضلها

نظراً لأن هذه المعادلة لا تحتمل الدوال الإضافية التي يمكن الاستغناء عنها

في أي معادلة

وعليه نكتب الدالة الجزئية

بالإشارة إلى x أولاً

وهذا يشير إلى الدالة "بسي" مع الرمز x

وبعدئذ نشير هنا إلى الدالة الجزئية وذلك بوصلها مع الرمز y

هذه مسألة واحدة جديرة بالاهتمام

ما المعطى الذي يمكن الحصول عليه لو أخذنا الدالة الجزئية المشار إليها بواسطة x

ثم بعد ذلك y؟

بإحالة الدالة الجزئية إلى x عليك أن تبقي الرمز y ثابتاً لأجل الحصول

على الدالة الجزئية

لا تعر الرمز y هنا أي اهتمام

بعد ذلك تُبقي الرمز x ثابتاً ثم تأخذ

الدالة الجزئية المشار إليها بواسطة y

هنا ما وجه الاختلاف بين ما قلناه آنفا، وماذا لو قمنا بتغير

تراتبية المعادلة؟

ماذا لو... دعوني هنا أكتب المعادلة

بلون مختلف. ماذا لو كتبنا هنا (بسي) وأردنا أن نكتب الدالة الجزئية

بالإشارة إلى الرمز y، وبعدئذ أردنا أن نكتب الدالة الجزئية

بالإشارة إلى الرمز x؟

فقط مع تنويتة الرموز الرياضية التي تطمئن في استعمالها

والتي لربما كانت - الدالة الجزئية x، والدالة الجزئية y

وهذه هي المعطى التلقائي لها

ولربما كانت التراتبية هنا غامضة بعض الشي هنا

وبخاصة بين هذين الرمزين

حتى وإن كانتا الشيء نفسه

وذلك بسبب أن هذه المعادلة تختلف تراتبيتها من حيث

طريقة التفكير الرياضي بها

ما ذكرناه يحيلنا إلى القول إن الدالة الجزئية تكون مع الرمز x، ثم بعده الرمز y

هذه الرؤية المنطقية في عرض هذه المعادلة تعتبر منطقية من حيث المعطيات التلقائية، وعليه نأخذ

الدالة الجزئية x أولاً

ثم بعدها y

لكن على أية حال، يمكن تمثيل هذه المعادلة عن طريق الدالة الجزئية y

مع الإشارة إلى الرمز x، عفواً أقصد مع الإشارة إلى y، ثم بعد ذلك

نكتب الدالة الجزئية y مع الإشارة إلى الرمز x

الآن، سوف أخبركم بأن الرمز الأول من كل دالة جزئية

تعتبر مستمرة في التراتبية المنطقية وفي معظم وظائفها

التي نتعامل معها في النطاق المألوف ما دام ليس هناك

أية فجوات تراتبية في العرض المنطقي

أو غرابة في التحليل التعريفي الوظيفي لتلك التراتبية

هي عادة تكون متسلسلة منطقياً وبصورة مستمرة

وبخاصة في دورات السنة الأولى من مادة حساب التفاضل والتكامل

والتي من المحتمل أن نتصدى من خلالها مع الوظائف غير المنقطعة في تلك المادة

وفي نطاق المشتقات الجزئية على وجه التحديد

إذا كانت كلا الوظيفتين مستمرتين

أو إحدى الجزئيات الأولى مستمرة، فإن كلاهما سوف تكونان

متساويتين إزاء بعضهما البعض

ولذا، فإن الدالة (بسي) مع الرمزين xy ستكون متساوية مع الدالة (بسي) مع الرمزين yx

الآن، نستطيع أن نوظف هذا المعلومة المختصة بقاعدة التراتبية المنطقية بواسطة المشتقات الجزئية

لأجل معالجة معادلات محددة

تتعلق بحساب التفاضل

والذي لا يعرف إلا بواسطة معادلات رياضية

مستغرقة في التخصيص

وهنا نسأل، كيف تبدو هذه المعادلة المحددة والمستغرقة في التخصيص؟

هي تبدو على النحو التالي

لطالما واجهت صعوبة في اختيار الألوان، على أية حال

لنقل هذه هي معادلة حساب التفاضل

لدي هنا بعض وظائف الرمز x و y

ولذا، لا أعرف حقيقة، فلربما كان الرمز x بالأس المضاعف

قريناً مع الرمز y أحيانًا

كما إنه من الممكن أن يشير x و y إلى أية وظيفة

هذا بالإضافة إلى وظائف أخرى لـ x و y والتي من الممكن أن نصطلح عليها بالرمز n

والرمز dx هنا يساوي القيمة صفر

لست متأكداً ما إذا كانت هذه المعادلة دقيقة

لكن لو رأيت معادلة بهذه التراتبية، فإن الباعث الأول من خلال رؤيتك لها

سيكون قائماً على تساؤلك فيما لو كانت

قابلة للانفصال

لزاماً أن تجري عملية حسابية

بعض الشيء لترى ما إذا كان من الممكن فصلها

لأن ما قدمته يعتبر الأسهل والأسرع في تمثيل هذه المعادلة

لو كانت غير قابلة للانفصال، وأحسست بأنه من الممكن تمثيلها على هذه الصيغة

فحري بك أن تسأل نفسك: هل تعتبر معادلة تفاضلية ثابتة؟

ثم عليك أن تسأل أيضاً: ما المعادلة التفاضلية الثابتة؟

حسنا، انظر بشكل سريع

هذه الصغية تبدو غير جيدة من حيث تمثيلها

هناك صيغ كثيرة على منوال هذه الصيغة

ماذا لو كان M الدالة الجزئية لـ "تسي"

ماذا لو كان الدال "بسي" والرمز x متساويين مع الرمز M

ماذا لو أن الرمز M كان الدال "بسي" والرمز x

ماذا لو أن الرمز M كان الدال (بسي) والرمز y

وبالتالي فإن الدالة "بسي" والرمز y يعادلان الرمز N

ماذا لو؟

وأقولها هنا: لو؛ لأننا لسنا متأكدين. أليس كذلك؟

لو ترى هذه التراتبية في غير هذا السياق وبشكل عشوائي، فإنك لن تعرف

بأنها الدالة الجزئية التي يشار معها الرمز x ذو الدلالات الوظيفية المحددة

وبأنها الدالة الجزئية التي يشار معها الرمز y

ذو الدلالات الوظيفية المحددة

لكننا في سياق الحديث عن هذه المعادلة، نطرح سؤالا فيما لو

كان الترابط بين الدالة والرموز صحيحاً، حينها نستطيع إعادة تمثيل المعادلة

على النحو التالي: الدالة الجزئية "بسي" مع الرمز x مضافة إلى الدالة الجزئية "بسي"

مع الرمز y، ومضروبة على الرمز dy و dx، والتي تساوي القيمة صفر

وما يمكن رؤيته هنا في الجانب الأيسر يعتبر

متطابقًا مع المعادلة المتمثلة في الجانب الأيسر هنا، أليس كذلك؟

وبالتالي نحصل على قيمة المشتق الأولي "بسي" مع الرمز x

والتي نستنتجها بهذه الطريقة التي تعرف بـ "قانون تراتبية المشتقات الجزئية"

يمكنك إعادة تمثيل هذا القانون

يمكنك أن تعيد قراءة القانون بكتابة دالة "بسي" المشتقة والمضافة إلى الرمز x

والتي تعكس دالة x الوظيفية

و y والتي تساوي القيمة صفر

لذا، لو رأيت معادلة تفاضل، وقد تضمنت هذه الصيغة القانونية

ثم قلت لنفسك: حسنا، إني لا أستطيع فصلها، لكن، مهلاً لربما

كانت معادلة تفاضلية ثابتة

بكل صراحة، لو كان ما قد قلنا هو ما قد تم تغطيته مؤخراً قبل حلول

الاختبار الجاري، فإنه من المحتمل أن تكون المعادلة كذلك كما هي.

لكن، لو نظرت إلى هذه الصيغة، لربما قلت

هي معادلة تفاضلية منضبطة من حيث التراتبية

ولو كانت كذلك - وسوف أريك كيفية اختبارها

في ثوان معدودة بواسطة هذه المعلومة - عندئذ

فإنه من الممكن تمثيلها كدالة مشتقة من وظيفة الدالة "بسي"

حيث الدالة الجزئية "بسي" مع الرمز x

والدالة الجزئية "بسي" مع الرمز y

وحينها يكون باستطاعتك تمثيل القانون عن طريق أخذ الدالة المشتقة من المعادلتين

عفواً: أقصد أخذها من الدوال المشتقة المتضادة من المعادلتين

لتصل بهذه الحيثيات إلى دالة "بسي" مع الرمزين x و y

والتي تساوي الرمز المعطى c كعنصر فعال لفرض حل استنتاجي

إذن، هناك أمران يجب الانتباه لهما

وعندها لربما قلت: حسنا سال، أظنك بدأت تستوعب مسألة

دوال "بسي"، وكل الدوال الجزئية وكل الرموز التي ذكرناها

أولاً: كيف لي أن أعرف بأنها معادلة التفاضل الثابتة؟

ولو كانت فعلاً كذلك، ما المعطى الذي يخبرنا بأن هناك بعضًا من دوال "بسي"

وكيف يمكن لي أن أحلها لأجل استنتاج قيمة الدال "بسي"؟

حل هذه المسألة يعتمد على استعمال المعطيات

التي سأقدمها الآن

نعرف بأنه لو كان الدال "بسي" وقيمه المشتقة غير منقطعة

في حقل حسابات التفاضل، وبخاصة عندما تأخد الدالة الجزئية

مع الرمزين x و y

فإن هذه التراتبية تُتّبع في حال تمثيلها بشكل طردي

ولذا، قلنا: هذه التراتبية (الدال الجزئي مع الرمز x)

أليس كذلك؟

وهذه التراتبية

(الدال الجزئي مع الرمز y)

ولذا، لو كانت هذه معادلة تفاضلية ثابتة، ولو كانت بالفعل كذلك

ولو أخذنا الدال الجزئي منها

مع الرمز y

ولو أخذنا الدالة الجزئية من M مع الرمز y

فإن الدالة الجزئية لـ "بسي" مع الرمز x يساوي M

ولو أخذنا الدال الجزئي من تلك الرموز مع y

نستطيع حينها إعادة تمثيل القانون على نحو

تلازمي يجعلها متساوية مع الدال N والرمز x، أليس كذلك؟

الدال الجزئي "بسي" مع الرمز y يساوي N

وعليه، لو أخذنا الدوال الجزئية مع الرمز x

فإننا نعرف بأنها ستكون متعادلة، لو كان الدال "بسي"

ودواله الجزئية غير منقطعة على نفس منوال تلك التراتبية

وحينها، تكون متساوية أيضًا

هذا كله طريقة فحص المعطيات

فيما لو كانت المعادلة هي معادلة التفاضل الثابتة

أود هنا إعادة تمثيل القانون مرة أخرى

وبصورة مختصرة

لو رأيت صيغة ما على نحو: M من x، وy مع N من x

و y مضاعفة مع الرمزين dy و dx وتساوي القيمة صفر

حينها تأخذ المشتق الجزئي من M مع الرمز

y ثم تأخد المشتق الجزئي من N مع

الرمز x لتصل إلى نتيجة تجعل المعادلتين متساوية

شريطة أن تقبل تراتبيتها الاعتيادية التراتبية الطردية

هذه هي معادلة التفاضل الثابتة

هي معادلة التفاضل الثابتة

ولو كانت بالفعل كذلك، فإن ذلك يخبرنا بأن

الدال "بسي" والمشتق، على سبيل المثال، من "بسي" مع الرمزين x و y

يساوي القيمة صفر، أو الدال "بسي" مع الرمزين x و y الذي يساوي القيمة c كمعطى لحل

المعادلة

والمشتق الجزئي من "بسي" مع الرمز x يساوي

الرمز M

والمشتق الجزئي "بسي" مع الرمز y يكون

متساوياً مع N

سأعرض لكم في الفيديو التعليمي القادم كيفية استعمال

هذه المعطيات لاستنتاج قيمة الدال "بسي"

هنا بعض الأمور التي أود أن أشير إليها

والتي سوف تكون متعلقة بالمشتق الجزئي "بسي"

مع الرمز x، لكن عندما نتناول نوع تراتبية هذا القانون

فإننا نتناوله من جهة الإشارة إلى الرمز y لأننا نود أن نحصل

على دال مشتق مركب

وبصورة متشابه مع المشتق "بسي" ستكون النتيجة متشابهة في حين التصدي للدال الجزئي "بسي"

مع الرمز y، ولكن، عندما نقوم بذلك، فإننا نأخذ

دال "بسي" الجزئي مع الرمز x من أجل الحصول على

دال "بسي" المشتق.

وهنا، هذه التراتبية بين الدال المشتق والدال الجزئي تكون مع الرمز y

ومن ثمة مع الرمز x، وعليه فلزاماً أن تستدرك ذلك

على أية حال، أعرف أنه لربما كان بعضه متضمناً، لكنك

عرفت جيداً ما وددت أن أصبو إليه. وأعتقد بأن لديك

الحدس الرياضي حول منطقية ومنهجية

معادلات رياضية معينة، وكيفية تراتبية حيثياتها

أراكم في الفيديو التعليمي القادم، والذي فيه سنعالج

معادلات رياضية محددة

حول حساب التفاضل الثابت