Titre: La Trigonométrie II

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Faisons plusieurs exemples pour bien comprendre

les fonctions trigonométriques.

Construisons des triangles rectangles.

Nous allons construire des triangles rectangles et je veux être très clair sur la définition,

cela s'applique uniquement sur les triangles rectangles. Si vous cherchez

les fonctions trigonométriques d'angles qui ne sont pas dans des triangles rectangles, vous verrez qu'on devra

construire des triangles rectangles. Pour l'instant, focalisons-nous sur les triangles rectangles.

Disons que j'ai un triangle, dont la longueur ici est 7,

et disons que ce côté ici est de 4.

Essayons de voir quelle sera la longueur de l'hypoténuse.

nous allons appeller h l'hypoténuse

nous savons que h au carré est égal à sept au carré plus quatre au carré, nous savons

ça grâce au théorème de Pythagore,

que l'hypoténuse au carré est égale à

la somme des carrés

des deux autres côtés. h au carré est égal à 7 au carré, plus 4 au carré.

Donc ceci est égal à 49

49 plus 16

49 plus 10 font 59, plus 6 font

65.

Donc h au carré

h au carré est égal à 65.

C'est bien ça? 49 plus 10 font 59, plus 6

font 65, on peut aussi dire que h est égal à,

h est égal à la racine carrée de 65.

Et on ne peut pas simplifier cette expression:

65, c'est 13 fois 5,

ni 13 ni 5 ne sont des carrés parfaits,

ce sont des nombres premiers, donc on ne peut pas simplifier cette expression.

Donc h est égal à la racine carrée

Maintenant, regardons les fonctions trigonométriques de cet angle ici. Appelons cet angle thêta.

Quand on fait ça,

il faut écrire - moi ça m'aide -

"soh cah toa".

soh...

...soh cah toa. Je me rappelle ça

de mon professeur de trigonométrie,

ou alors je l'ai lu quelque part, je ne sais plus,

une histoire de princesse indienne qui s'appelait "soh cah toa",

et c'est un moyen mnémotechnique efficace.

Par exemple, si on veut trouver le cosinus de cet angle

Pour trouver le cosinus de cet angle, vous dites: "soh cah toa!"

Le "cah" nous dit comment trouver le cosinus:

CAH = Cosinus Adjacent Hypoténuse

Le cosinus est égal à l'adjacent sur l'hypoténuse.

CAH: le cosinus (C) est égal à l'adjacent (A)

Revenons à théta. Quel côté est son adjacent?

Nous savons que l'hypoténuse

Nous savons que l'hypoténuse est ce côté ici.

Le seul côté qui est adjacent à thêta

et qui n'est pas l'hypoténuse, c'est ce 4 ici.

Le côté adjacent ici,

qui est juste à côté de l'angle, c'est l'un des côtés qui forment l'angle,

c'est 4

Nous savons que l'hypoténuse est la racine carrée de 65,

donc c'est 4 sur racine carrée de 65.

Certaines personnes veulent que vous rationalisiez le dénominateur,

ils n'aiment pas avoir un nombre comme racine carrée de 65 au dénominateur

donc, si vous voulez ré-écrire ceci sans nombre irrationnel au dénominateur,

vous pouvez multiplier le numérateur et le dénominateur

par racine carrée de 65.

Ca ne change rien au nombre, puisque nous multiplions par un nombre divisé par lui-même,

donc en fait nous multiplions par 1.

Mais ça nous débarrasse du nombre irrationnel au dénominateur.

Donc, le numérateur devient 4 fois racine carrée de 65,

et le dénominateur, racine carrée de 65 multiplé par racine carrée de 65, donc tout simplement 65.

Le nombre irrationnel est toujours là, mais il est maintenant au numérateur.

Maintenant, voyons les autres fonctions trigonométriques, au moins les principales.

Maintenant, voyons les autres fonctions trigonométriques, au moins les principales.

On verra plus tard qu'il en existe d'autres, qui sont dérivées de ces fonctions principales.

Pour le sinus de thêta, pensons à "soh cah toa"

SOH = Sinus Opposite Hypoténuse

Le sinus est égal au côté opposé sur l'hypoténuse.

Le sinus est égal au côté opposé sur l'hypoténuse.

Pour cet angle, quel côté est l'opposé?

Si on va à l'opposé, le côté vers lequel il s'ouvre: c'est-à-dire le 7

donc le côté opposé est le 7.

Voici donc le côté opposé

et ensuite, comme c'est opposé sur hypoténuse,

L'hypoténuse, c'est la racine carrée de 65

et si on veut rationaliser, on peut multiplier par racine carrée de 65

sur racine carrée de 65

alors au numérateur, on aura 7 racine carrée de 65,

et au dénominateur, juste 65.

Et maintenant, la tangente!

Alors, la tangente.

Si je vous demande la tangente

la tangente de thêta

si on se souvient de soh cah toa

grâce à TOA, on sait comment calculer la tangente

TOA : Tangente = Opposé sur Adjacent

Donc la tangente est égale

au côté opposé sur le coté adjacent

au côté opposé sur le coté adjacent

la tangente est égale au côté opposé sur le coté adjacent

donc pour cet angle

nous savons que le côté opposé est 7

puisque l'angle s'ouvre sur l'opposé qui est 7

donc c'est 7

et le côté adjacent, c'est 4 ici

donc puisque le côté adjacent est 4

la tangente c'est 7 sur 4

et voilà

on a trouvé toutes les fractions pour thêta.

Faisons-en un autre, un peu plus concret.

Parce que pour le moment, on parle de tangente de thêta, soyons un peu plus concrets

Si je dessine un autre triangle rectangle,

voilà un autre triangle rectangle

on ne parle que de triangle rectangle

tous les triangles avec lesquels on travaille

si l'hypoténuse

a une longueur de 4

et si cette longueur ici est 2 racine carrée de 3

on peut voir ce que ça donne

Si on met ce côté au carré,

ça donne 2 racine carrée de 3 au carré

+ 2 au carré, ça donne quoi?

2 au carré ça fait 4

4 fois 3 plus 4

donc ça fait 12 plus 4 donc 16

et 16, c'est 4 au carré

Donc le théorème de Pythagore est bien vérifié.

Si vous vous rappelez de triangles 30 60 90

que vous avez pu apprendre en géométrie,

vous reconnaissez que voici un triangle 30 60 90, et ici c'est notre angle droit

J'aurais pu mettre dès le début que c'est un angle droit

et donc cet angle ici est notre angle de 30 degrés

et par conséquent, cet angle ici,

c'est un angle de 60 degrés

et c'est un 30 60 90 car

le côté opposé à l'angle de 30 degrés est la moitié de l'hypoténuse

et que le côté opposé à l'angle de 60 degrés est égal à

racine carrée de 3 fois le côté qui n'est pas l'hypoténuse

Bon, je ne suis pas censé faire une révision des triangles 30 60 90

cherchons plutôt les fractions trigonométriques

Si je vous demande

quel est le sinus de 30 degrés

sachant que 30 degrés est l'un des angles de ce triangle

mais ça marche dès qu'on a un angle de 30 degrés et un triangle rectangle

plus tard on verra des définitions plus générales

Comme ici j'ai un angle de 30 degrés, je peux utiliser ce triangle rectangle

et si on se rappelle de son cah toa

soh

Grâce à SOH on sait que le sinus est l'opposé sur l'hypoténuse

le sinus de 30 degrés est donc le côté opposé

que voici, soit 2

sur l'hypoténuse, qui est 4 ici.

Donc ça fait 2 sur 4 soit un demi

le sinus de 30 degrés

Maintenant

Quel est le cosinus

on en revient toujours à soh cah toa

Avec CAH on sait que le cosinus est le côté adjacent sur l'hypoténuse

donc pour l'angle de 30 degrés

voici le côté adjacent

juste à côté de l'angle

c'est donc le côté adjacent sur l'hypoténuse

le côté adjacent

en simplifiant, on divise le numérateur et le dénominateur par 2,

ça donne racine carrée de 3 sur 2

Et maintenant,

la tangente de 30 degrés

on en revient toujours à soh cah toa

soh cah toa

D'après TOA on sait que la tangente est égale à l'opposé sur l'adjacent

Pour l'angle de 30 degrés,

le côté opposé c'est 2

et le côté adjacent c'est 2 racine carrée de 3

puisque adjacent, ça veut dire à côté

voilà le côté adjacent

donc 2 racine carrée de 3

donc la tangente est égale à (les 2 s'annulent)

1 sur racine carrée de 3

et si on multiplie le numérateur et le dénominateur par racine carrée de 3

on aura

donc le numérateur est égal à racine carrée de 3

et le dénominateur est égal à 3

on a "rationalisé"

Maintenant, avec le même triangle

regardons les fractions trigonométriques pour l'angle de 60 degrés

quel est le sinus de 60 degrés

je pense que vous commencez à maîtriser

le sinus est l'opposé sur l'hypoténuse (SOH de soh cah toa)

le côté opposé est ici

soit 2 racine carrée de 3

et comme le sinus est l'opposé sur l'hypoténuse

et comme le sinus est l'opposé sur l'hypoténuse

et comme le sinus est l'opposé sur l'hypoténuse

c'est 2 racine carrée de 3 sur 4, puisque 4 est l'hypoténuse

ça peut se simplifier en racine carrée de 3 sur 2

et maintenant le cosinus de 60 degrés?

le cosinus est l'adjacent sur l'hypoténuse (cah)

l'adjacent est à côté de l'angle soit 2

sur l'hypoténuse soit 4

donc ceci est égal à

Enfin,

que vaut la tangente de 60 degrés?

la tangente est l'opposé sur l'adjacent (toa)

l'opposé de l'angle de 60 degrés

c'est 2 racine carrée de 3

c'est 2 racine carrée de 3

et l'adjacent

de ce même angle

le côté adjacent de l'angle de 60 degrés est 2

donc opposé sur adjacent, ça fait

2 racine carrés de 3 sur 2

Regardez les similitudes

Le sinus de 30 degrés est égal au cosinus de 60 degrés.
Le cosinus de 30 degrés est égal au sinus de 60 degrés.

et ces deux tangentes sont l'inverse l'une de l'autre. Si vous regardez ce triangle, ça vous paraîtra logique.

On va en reparler plus longuement avec plein d'exercices

dans les prochaines vidéos.

4 sur racine carrée de 65.

L'hypoténuse, c'est la racine carrée de 65

Quel est le cosinus

a une longueur de 2

c'est 2

c'est-à-dire racine carrée de 3

cah

de 30 degrés

de 65.

de me dire

donc sur 4

est toujours égal à un demi

et si ce côté-ci

fois 3

la tangente

la tangente c'est 7 sur 4

même si je viens de le faire

on a "rationalisé"

plus 16,

que vaut la tangente de 60 degrés?

racine carrée de 3

si on prend la racine carrée des deux côtés,

soit 2 racine carrée de 3

sont des triangles rectangles

sur l'hypoténuse

sur l'hypoténuse (H).

sur l'hypoténuse.

sur le côté adjacent

sur racine carrée de 3

toa

un demi.