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Hagamos unos ejemplos más para comprobar que estamos
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entendiendo bien esta función trigonométrica.
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Vamos a construir unos cuántos triángulos rectángulos.
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Construyámonos algunos triángulos rectángulos, y quiero dejar muy clara la forma en que
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lo he definido hasta ahora así que si estás intentando encontrar las funciones
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trigonométricas de ángulos que no son de triángulos rectángulos, veremos que
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necesitaremos construir triángulos rectángulos, pero centrémonos en los triángulos rectángulos por ahora.
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Digamos que tengo un triángulo y que este lado de aquí abajo es siete,
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y digamos que este lado de aquí arriba es cuatro.
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Averigüemos cuánto valdrá esta hipotenusa de aquí. Sabemos
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-llamemos a la hipotenusa "h"-
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sabemos que "h" al cuadrado será igual a siete al cuadrado más cuatro al cuadrado,
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lo sabemos por el teorema de Pitágoras,
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que dice que el cuadrado de la hipotenusa es igual
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a la suma de los cuadrados de los otros dos lados.
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"h" al cuadrado es igual a siete al cuadrado más cuatro al cuadrado.
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Así que es igual a cuarenta y nueve
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cuarenta y nueve más dieciséis,
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cuarenta y nueve más diez es cincuenta y nueve, más seis es
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sesenta y cinco. Es sesenta y cinco así que esta "h" al cuadrado
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escribo: "h" al cuadrado
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-es otro tono de amarillo- así que tenemos que "h" al cuadrado es igual a
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sesenta y cinco. ¿Lo he hecho bien? Cuarenta y nueve más diez es cincuenta y nueve, más otros seis
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es sesenta y cinco, o podríamos decir que "h" es igual a, si tomamos la raíz cuadrada de
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raíz cuadrada
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raíz cuadrada de sesenta y cinco. Y no lo podemos simplificar en absoluto
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esto es trece
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así que es lo mismo que trece por cinco, ninguno de ellos es un cuadrado perfecto y
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ambos son primos, así que no podemos simplificar más.
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Esto es igual a la raíz cuadrada
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Ahora encontremos las funciones trigonométricas para este ángulo de aquí arriba. Llamemos a éste angulo de aquí arriba theta.
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Así que cuando lo hagas
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siempre querrás escribir -al menos a mí me funciona escribirlo-
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"soh cah toa" ("soh cah toa")
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soh (soh)
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soh cah toa (soh cah toa). Tengo un vago recuerdo
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de mi
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profesor de trigonometría, tal vez lo leí en algún libro, no lo recuerdo - sobre
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una princesa india llamada "soh cah toa" o algo así, pero es muy útil
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mnemotécnicamente, así que podemos usar "soh cah toa". Encontremos
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digamos que queremos encontrar el coseno. Queremos encontrar el coseno de nuestro ángulo.
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Queremos encontrar el coseno de nuestro ángulo, dices: "¡soh cah toa!"
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Así que el "cah". "Cah" nos dice qué hacer con el coseno,
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el "cah" nos dice
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que el coseno es el adyacente sobre la hipotenusa.
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El coseno es igual al adyacente
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Veamos la theta, ¿qué lado es el adyacente?
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Bueno, sabemos que la hipotenusa
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sabemos que la hipotenusa es este lado de aquí
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así que no puede ser ése lado. El único otro lado que es adyacente y que no es
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la hipotenusa, es este cuatro.
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Así que el lado adyacente de aquí, este lado está,
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está literalmente pegado junto al ángulo, es uno de los lados que forma el ángulo
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es cuatro
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La hipotenusa que ya conocemos es la raíz cuadrada de sesenta y cinco, así que es cuatro
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sobre
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A veces querrán que racionalices el denominador lo que significa que no les gusta
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tener un número irracional en el denominador, como la raíz de sesenta y cinco
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y si quieren que reescribas esto sin un
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número irracional en el denominador, puedes multiplicar el numerador y el denominador
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por la raíz cuadrada de sesenta y cinco.
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Esto no cambiará el valor numérico, porque estamos multiplicando y dividiendo por lo mismo, así que
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multiplicando el número por uno. Eso no cambiará el número, pero al menos nos libra del
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número irracional del denominador. Así que el numerador se convierte
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en cuatro por raíz de sesenta y cinco, y el denominador,
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raíz cuadrada de sesenta y cinco por raíz cuadrada de sesenta y cinco, que simplemente es sesenta y cinco.
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No nos hemos librado del número irracional, todavía está ahí, pero ahora en el numerador.
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Ahora calculemos el resto de funciones trigonométricas
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o al menos las otras funciones trigonométricas principales. Veremos más adelante que hay un montón
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de funciones, pero que todas se derivan de éstas
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así que pensemos cuál es el seno de theta. De nuevo miremos el "soh cah toa"
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el "soh" nos dice qué hacer con el seno. Seno es el opuesto sobre la hipotenusa.
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Seno es igual a
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opuesto sobre hipotenusa. Seno es opuesto sobre hipotenusa.
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¿Cuál es el lado opuesto para este ángulo?
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Simplemente vamos al opuesto del ángulo, aquél al que se abre, es opuesto al de siete
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así que el opuesto es el siete.
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Este de aquí - este es el lado opuesto
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y luego
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la hipotenusa, es el opuesto sobre la hipotenusa. La hipotenusa es
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y de nuevo si queremos racionalizar esto, podemos multiplicar por la raíz de sesenta y cinco
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sobre la raíz de sesenta y cinco
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y en el numerador, obtendremos siete por la raíz de sesenta y cinco y en el denominador tendremos
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simplemente sesenta y cinco otra vez.
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¡Ahora hagamos la tangente!
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Hagamos la tangente.
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Si pregunto la tangente
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de - la tangente de theta
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volvemos a "soh cah toa"
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el "toa" nos dice qué hacer con la tangente
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nos dice
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nos dice que la tangente
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es igual al opuesto sobre el adyacente. Es igual al opuesto
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sobre
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opuesto sobre adyacente
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así que para este ángulo
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el opuesto ya lo hemos encontrado antes, es el siete, que se abre al siete
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el siete
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así que es siete
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el cuatro es el adyacente
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este cuatro es adyacente así que el lado adyacente es cuatro
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así que es siete
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y ya está.
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Como hemos encontrado todas las razones trigonométricas de theta hagamos otro
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hagamos otro. Voy a hacerlo algo más concreto porque ahora mismo hemos estado diciendo
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tangente de x, tangente de theta. Hagámoslo algo más concreto
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digamos
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déjame dibujar otro triángulo rectángulo
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esto es otro triángulo rectángulo
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lo único con lo que vamos a trabajar
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digamos que la hipotenusa
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mide cuatro
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y digamos que esta distancia de aquí será el doble de la raíz de tres,
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podemos verificarlo
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si elevamos al cuadrado este lado, déjame escribirlo... dos por la raíz cuadrada
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de tres al cuadrado
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más dos al cuadrado es igual a
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esto es
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cuatro por tres más cuatro
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será igual a doce más cuatro igual a dieciséis y dieciséis es
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cuatro al cuadrado, así que esto es igual a cuatro al cuadrado.
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Si es igual a cuatro al cuadrado satisface el teorema de Pitágoras
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y si recuerdas algo de los triángulos de treinta sesenta noventa sobre los que puede que hayas
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aprendido en geometría, puede que reconozcas que este
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es un triángulo treinta sesenta noventa y que este de aquí es el ángulo rectángulo que debería
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haber dibujado desde el principio para marcar que es un triángulo rectángulo
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este ángulo de aquí es nuestro ángulo de treinta grados
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y este ángulo de aquí arriba, este ángulo es
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un ángulo de sesenta grados
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y es un triángulo treinta sesenta noventa porque
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el lado opuesto al de treinta grados es la mitad de la hipotenusa
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y que además el lado opuesto al de sesenta grados es el cuadrado de tres por el otro lado
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no es la hipotenusa
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y eso es todo. Esto no pretende ser un repaso de los triángulos treinta sesenta noventa
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Así que vamos a encontrar las razones trigonométricas de los diferentes ángulos
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así que si te pregutara
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cuánto es el seno de treinta grados
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y recuerda que treinta grados es uno de los ángulos en este triángulopero esto es aplicable
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siempre que tengas un ángulo de treinta grados y estés tratando con un triángulo rectángulo
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tendremos definiciones más amplias en el futuro, pero si tienes seno de treinta grados
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y este ángulo de aquí es de treinta grados así que puedo usar este triángulo rectángulo
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y solo tenemos que recordar soh cah toa
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reescribirlo de forma que
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soh nos dice qué hacer con el seno. Seno es opuesto sobre hipotenusa
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seno de treinta grados es el lado opuesto
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que es el lado opuesto que es dos
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sobre la hipotenusa. Aquí la hipotenusa es cuatro.
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Es dos cuartos que es lo mismo que un medio
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seno de treinta grados serás que siempre será igual
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ahora, cuánto vale
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cuánto es el coseno de
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de nuevo volvemos a soh cah toa.
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Cah nos dice qué hacer con el coseno. Coseno es adyacente sobre hipotenusa
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así que para el ángulo de treinta grados es el adyacente. Este de aquí es
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el adyacente, está justo al lado
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no es la hipotenusa
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es el adyacente sobre la hipotenusa así que es dos
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adyacente
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o si simplificamos dividiendo numerador y denominador por dos es la raíz cuadrada de tres
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sobre dos
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finalmente hacemos
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tangente de treinta grados
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volvemos a soh cah toa
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soh cah toa
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toa nos dice qué hacer con la tangente, es el opuesto sobre el adyacente
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vamos al ángulo de treinta grados porque es lo que nos interesa, tangente de treinta
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tangente de treinta, el opuesto es dos
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el opuesto es dos y el adyacente es dos raíz cuadrada de tres que está justo al lado.
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El adyacente
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adyacente significa justo al lado
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así que dos raíz cuadrada de tres
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así que esto es igual a
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los dos se cancelan, uno sobre raíz cuadrada de tres
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o podemos multiplicar numerador y denominador por la raíz cuadrada de tres
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así que tenemos
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así que esto será igual al numerador, raíz cuadrada de tres, y luego el denominador
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justo aquí será tres porque hemos racionalizado la raíz cuadrada de tres
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Ahora usemos el mismo triángulo para encontrar las razones para el ángulo de sesenta
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como ya lo tenemos dibujado
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cuánto es
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cuánto es el seno de sesenta grados y creo que ya le estás cogiendo el tranquillo
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seno es el opuesto sobre el adyacente. Soh de soh cah toa. Del ángulo de sesenta grados qué lado
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es el opuesto
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cuál se abre a las dos raíces cuadradas de tres de forma que el lado opuesto es dos por raíz cuadrada de tres
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y del ángulo de sesenta grados, el ady- oh perdón, es el
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opuesto sobre la hipotenusa, no quiero confundirte.
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Así que es el opuesto sobre la hipotenusa
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así que es dos por raíz cuadrada de tres sobre cuatro, cuatro es la hipotenusa,
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así que es igual a, esto se simplifica a raíz cuadrada de tres sobre dos.
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Cuánto es el coseno de sesenta grados. Cosenos de sesenta grados.
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Recuerda, soh cah toa. Coseno es el adyacente sobre la hipotenusa.
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Adyacentes son los dos lados junto al ángulo de sesenta grados así que es dos
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sobre la hipotenusa, que es cuatro,
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así que es igual a
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y finalmente
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cuánto es la tangente, cuánto es la tangente
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Soh cah toa, tangente es opuesto sobre adyacente
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opuesto de sesenta grados
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es dos raíz cuadrada de tres
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dos raíz cuadrada de tres
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y adyacente a ese
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adyacente a ese
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el adyacente a sesenta grados es dos
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así que el opuesto sobre el adyacente
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dos por raíz de tres dividido por dos, lo cuál es igual a
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Solo quiero que veamos cómo están relacionados
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el seno de treinta grados es lo mismo que el coseno de sesenta grados. El coseno de treinta grados es lo mismo que el seno de sesenta grados
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y entonces estos son el inverso el uno del otro y creo que si piensas un poco acerca de este triángulo
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empezará a cobrar sentido el porqué. Seguiremos expandiendo esto y practicando más en
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los próximos vídeos
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Not Synced
a un medio
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Not Synced
ambos lados
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Not Synced
aunque lo acabo de hacer.
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Not Synced
cah
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Not Synced
de sesenta grados.
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Not Synced
de sesenta y cinco.
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Not Synced
digamos que este lado de aquí
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Not Synced
dos, esto será cuatro por tres
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Not Synced
el coseno
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Not Synced
es dos
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Not Synced
la raíz cuadrada de sesenta y cinco.
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Not Synced
la raíz cuadrada de tres.
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Not Synced
la raíz de sesenta y cinco
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Not Synced
la tangente
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Not Synced
mide dos
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Not Synced
más dieciséis,
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Not Synced
o si alguien te preguntara cuánto es
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Not Synced
raíz cuadrada de tres
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Not Synced
raíz cuadrada de tres
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Not Synced
sobre
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Not Synced
sobre cuatro
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Not Synced
sobre hipotenusa, sobre cuatro
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Not Synced
sobre la hipotenusa.
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Not Synced
sobre la hipotenusa.
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Not Synced
sobre raíz cuadrada de tres
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Not Synced
sobre tres
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Not Synced
sobre... el lado adyacente
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Not Synced
son triángulos rectángulos
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Not Synced
toa
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Not Synced
treinta grados
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Not Synced
un medio
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