Return to Video

Basic Trigonometry II

  • 0:01 - 0:03
    Ας κάνουμε αρκετά ακόμη παραδείγματα
  • 0:03 - 0:07
    Έτσι ώστε να σιγουρευτούμε ότι κατανοήσαμε καλά αυτές τις τριγωνομετρικές συναρτήσεις.
  • 0:07 - 0:11
    Ας φτιάξουμε λοιπόν μόνοι μας κάποια ορθογώνια τρίγωνα
  • 0:11 - 0:14
    Ας φτιάξουμε λοιπόν μόνοι μας κάποια ορθογώνια τρίγωνα
  • 0:14 - 0:15
    Και θέλω να είμαι πολύ σαφής
  • 0:15 - 0:18
    Ο τρόπος που έχουμε ορίσει αυτές τις συναρτήσεις μέχρι στιγμής ισχύουν μόνο για ορθογώνια τρίγωνα.
  • 0:18 - 0:23
    Έτσι αν προσπαθήσετε να ορίσετε τις τριγωνομετρικές συναρτήσεις γωνιών που δεν είναι μέρος ενός ορθογωνίου τριγώνου
  • 0:23 - 0:26
    θα δούμε ότι χρειάζεται να κατασκευάσουμε ορθογώνια τρίγωνα
  • 0:26 - 0:28
    Αλλά προς στιγμή ας συγκεντρωθούμε στα ορθογώνια τρίγωνα.
  • 0:28 - 0:31
    Ας υποθέσουμε ότι έχουμε ένα τρίγωνο
  • 0:31 - 0:34
    όπου το μήκος της κάτω πλευράς είναι 7
  • 0:34 - 0:38
    και ας υποθέσουμε ότι το μήκος της άλλης πλευράς
  • 0:38 - 0:39
    είναι 4
  • 0:39 - 0:43
    Και τώρα ας υπολογίσουμε ποίο είναι το μήκος της υποτείνουσας
  • 0:43 - 0:46
    Με όσα γνωρίζουμε. Ας ονομάσουμε την υποτείνουσα "h"
  • 0:46 - 0:52
    Γνωρίζουμε ότι το τετράγωνο της υποτείνουσας h θα είναι ίσο με το τετράγωνο του 7 συν το τετράγωνο του 4
  • 0:52 - 0:55
    αυτό το γνωρίζουμε από το Πυθαγόρειο Θεώρημα.
  • 0:55 - 0:57
    δηλαδή ότι το τετράγωνο της υποτείνουσας είναι ίσον με το
  • 0:57 - 1:02
    το άθροισμα των τετραγώνων των δυο άλλων πλευρών
  • 1:02 - 1:05
    το τετράγωνο του h είναι ίσον με το τετράγωνο του7 συν το τετράγωνο του 4
  • 1:05 - 1:10
    δηλαδή αυτό είναι ίσον με σαράντα εννέα (49) συν δέκα έξη (16)
  • 1:10 - 1:12
    49 συν 16
  • 1:12 - 1:19
    σαράντα εννέα συν δέκα είναι ίσον με πενήντα εννέα συν έξι εξήντα πέντε
  • 1:19 - 1:21
    Αυτό είναι εξήντα πέντε, δηλαδή το εξήντα πέντε είναι το τετράγωνο του h
  • 1:21 - 1:26
    Ας μου επιτρέψετε να γράψω το τετράγωνο το h με διαφορετικό χρώμα
  • 1:26 - 1:29
    έτσι έχουμε λοιπόν το τετράγωνο του h ίσον με εξήντα πέντε
  • 1:29 - 1:34
    Ας δούμε αν το υπολόγισα αυτό σωστά. Σαράντα εννέα συν δέκα πενήντα εννέα , συν έξι εξήντα πέντε
  • 1:34 - 1:38
    ή θα μπορούσαμε να πούμε ότι το h είναι ίσον με την τετραγωνική των δυο άλλων πλευρών
  • 1:38 - 1:39
    τετραγωνική ρίζα
  • 1:39 - 1:43
    η τετραγωνική ρίζα του εξήντα πέντε . Και πραγματικά δεν μπορούμε να απλοποιήσουμε αυτό παραπάνω
  • 1:43 - 1:45
    αυτή είναι δέκα τρία
  • 1:45 - 1:47
    Αυτό είναι το ίδιο με το να λέμε δέκα τρία επί πέντε
  • 1:47 - 1:50
    και τα δυο από αυτούς τους αριθμούς δεν είναι τέλεια τετράγωνα
  • 1:50 - 1:52
    και οι δυο τους είναι πρώτοι αριθμοί και έτσι δεν μπορούμε να τους απλοποιήσουμε περισσότερο.
  • 1:52 - 1:55
    Έτσι αυτό είναι ίσο με την τετραγωνική ρίζα του εξήντα πέντε.
  • 1:55 - 2:02
    Και τώρα ας βρούμε τις τριγωνομετρικές συναρτήσεις για αυτή την γωνία επάνω εδώ
  • 2:02 - 2:05
    Ας ονομάσουμε αυτή την γωνία θ
  • 2:05 - 2:07
    Έτσι κάθε φορά που κάνετε αυτό
  • 2:07 - 2:09
    εσείς πάντα θα γράφετε - αυτό τουλάχιστον για μένα αξλιζει να το γράφετε-
  • 2:09 - 2:12
    ημ-συν-εφ=ΑΥ-ΠΥ-ΠΑ
  • 2:12 - 2:13
    ημ
  • 2:13 - 2:16
    Έχω αυτό το αόριστο φωνητικό σύμπλεγμα μνήμης
  • 2:16 - 2:19
    από τον καθηγήτη μου στην Τριγωνομετρία
  • 2:19 - 2:21
    Μπορεί να έχω διαβάσει αυτό και σε κάποιο βιβλίο. Δεν το ξέρω , εσείς ξέρετε κάτι γι' αυτό;
  • 2:21 - 2:24
    Το ΑΥ-ΠΥ-ΠΑ Μοιάζει σαν το όνομα κάποιας Ινδής Πριγκίπισσας ή οτιδήποτε άλλο
  • 2:24 - 2:26
    αλλά είναι μια πολύ χρήσιμη έκφραση απομνημόνευσης
  • 2:26 - 2:28
    έτσι μπορεί να εφαρμόσουμε το "ΑΥ-ΠΥ-ΠΑ"
  • 2:28 - 2:31
    Ας βρούμε, ας υποθέσουμε ότι θέλουμε να βρούμε το συνημίτονο
  • 2:31 - 2:34
    Θέλουμε να βρούμε το συνημίτονο της γωνίας θ
  • 2:34 - 2:38
    Αν θέλουμε να βρούμε το συνημίτονο της γωνίας μας θ , λέμε "ΑΥ-ΠΥ-ΠΑ"
  • 2:38 - 2:41
    Αυτό μας λέει τι θα κάνουμε για να βρούμε το "συν"
  • 2:41 - 2:43
    το μέρος "ΠΥ" από το "ΑΥΠΥΠΑ" μας λέει
  • 2:43 - 2:46
    ότι το συνημίτονο είναι ίσο με τον λόγο της παρακείμενης πλευράς ως πρός την υποτείνουσα
  • 2:46 - 2:51
    το συνημίτονο είναι ίσο με τον λόγο της προσκείμενης πλευράς ως πρός την υποτείνουσα
  • 2:51 - 2:56
    Ας κοιτάξουμε λοιπόν την γωνία θ ; ποία πλευρά είναι η παρακείμενη
  • 2:56 - 2:58
    καλά ξέρουμε ότι η υποτείνουσα
  • 2:58 - 3:01
    ξέρουμε ότι η υποτείνουσα είναι αυτή εδώ η πλευρά
  • 3:01 - 3:05
    Επομένως αυτή δεν μπορεί να είναι η πλεύρα που ζητάμε. Η μόνη πλευρά που μπορεί να είναι παρακείμενη σ'αυτή
  • 3:05 - 3:07
    δεν είναι η υποτείνουσα είναι αυτή που είναι ίση με τέσσερα
  • 3:07 - 3:10
    Έτσι η παράπλευρη πλευρά στην γωνία θ είναι αυτή εδώ η πλευρά
  • 3:10 - 3:14
    είναι ακριβώς δίπλα στην γωνία
  • 3:14 - 3:16
    είναι μία από τις πλευρές αυτού του είδους που σχηματίζουν την γωνία
  • 3:16 - 3:17
    το συν είναι ο λόγος 4 ως πρός την υποείνουσα
  • 3:17 - 3:21
    Η υποτείνουσα ξέρουμε ότι είναι ίση με την τετραγωνική ρίζα του εξήντα πέντε
  • 3:21 - 3:25
    δηλαδή είναι ο λόγος 4 ως προς την τετραγωνική ρίζα του εξήντα πέντε
  • 3:25 - 3:29
    και μερικές φορές οι άνθρωποι θέλουν να κατανοήσουν τι πραγματικά σημαίνει ο παρανομαστής
  • 3:29 - 3:33
    δεν θέλουν να έχουν ένα μη κατανοητό παρανομαστή
  • 3:33 - 3:35
    όπως η τετραγωνική ρίζα του εξήντα πέντε
  • 3:35 - 3:39
    και αν αυτοί δεν θέλουν - και εσύ δεν θέλεις να ξαναγράψεις ένα μη κατανοητό αριθμό στον παρανομαστή
  • 3:39 - 3:42
    μπορεί να πολλαπλασιάσεις τον αριθμητή και τον παρανομαστή
  • 3:42 - 3:43
    με την τετραγωνική ρίζα του εξήντα πέντε
  • 3:43 - 3:45
    αυτό σίγουρα δεν θα αλλάξει τον αριθμό
  • 3:45 - 3:48
    επειδή πολλαπλασιάζουμε αυτόν με κάτι πάνω από τον εαυτό του
  • 3:48 - 3:49
    δηλαδή πολλαπλασιάζουμε τον αριθμό με την μονάδα
  • 3:49 - 3:53
    αυτό δεν αλλάζει τον αριθμό , αλλά τουλάχιστον μας απαλλάσσει από τον ακατανόητο αριθμό στον παρανομαστή
  • 3:53 - 3:54
    έτσι ο αριθμητής γίνεται
  • 3:54 - 3:58
    τέσσερες φορές η τετραγωνική ρίζα του εξήντα πέντε
  • 3:58 - 4:03
    και ο παρανομαστής γίνεται τετραγωνική ρίζα του 65 επί τετραγωνική ρίζα του 65 ίσον με 65.
  • 4:03 - 4:07
    Εμείς δεν απαλλαγήκαμε ακόμη από τους ακατανόητους αριθμούς, αυτοί είναι ακόμα εκεί, αλλά είναι τώρα στον αριθμητή
  • 4:07 - 4:10
    τώρα ας κάνουμε τις άλλες τριγωνομετρικές συναρτήσεις
  • 4:10 - 4:12
    ή τουλάχιστον τις υπόλοιπες βασικές συναρτήσεις
  • 4:12 - 4:14
    Μελλοντικά θα μάθουμε ότι υπάρχουν πολλές απ' αυτές
  • 4:14 - 4:15
    αλλά όλες αυτές πηγάζουν (ορίζονται) από αυτές τις βασικές
  • 4:15 - 4:20
    Λοιπόν ας σκεφτούμε τι είναι το ημ θ. Και ας πάμε άλλη μια φορά στο "ΑΥ-ΠΥ-ΠΑ"
  • 4:20 - 4:25
    Το ΠΥ από το "ΑΥ-ΠΥ-ΠΑ" μας λέει τι θα κάνουμε με το ημίτονο (ημ.)
  • 4:25 - 4:29
    Το ημίτονο είναι ίσον με τον λόγο της απέναντι πλευράς ως προς την υποτείνουσα
  • 4:29 - 4:31
    Ημίτονο είναι η απέναντι δια της υποτείνουσας (Α/Υ)
  • 4:31 - 4:34
    Λοιπόν γι' αυτή την γωνία ποία είναι η απέναντι πλευρά;
  • 4:34 - 4:38
    Πάμε ακριβώς απέναντι απ' αυτή , η οποία είναι η πλευρά με μήκος επτά
  • 4:38 - 4:41
    επομένως η απέναντι πλευρά έχει μήκος επτά
  • 4:41 - 4:44
    Αυτή είναι, αυτή εδώ - η οποία είναι η απέναντι πλευρά
  • 4:44 - 4:48
    και μετά η υποτείνουσα, είναι η απέναντι υπεράνω της υποτείνουσας (Α/Υ)
  • 4:48 - 4:51
    Η υποτείνουσα είναι η τετραγωνική ρίζα του εξήντα πέντε
  • 4:51 - 4:53
    τετραγωνική ρίζα του εξήντα πέντε
  • 4:53 - 4:55
    και για μια φορά ακόμη αν θέλουμε να κάνουμε κατανοητό αυτό
  • 4:55 - 5:00
    θα πρέπει να πολλαπλασιάσουμε τον αριθμητή και τον παρανομαστή με την τετραγωνική ρίζα του εξήντα πέντε
  • 5:00 - 5:04
    και ο αριθμητής θα είναι ίσος με επτά φορές την τετραγωνική ρίζα του εξήντα πέντε
  • 5:04 - 5:08
    και ο παρανομαστής θα είναι πάλι εξήντα πέντε
  • 5:08 - 5:10
    Και τώρα ας υπολογίσουμε την εφαπτομένη !
  • 5:10 - 5:13
    Ας υπολογίσουμε την εφαπτομένη
  • 5:13 - 5:15
    Έτσι αν ζητήσω από σας την εφαπτομένη
  • 5:15 - 5:17
    την εφαπτομένη της γωνίας θήτα (θ)
  • 5:17 - 5:21
    για άλλη μια φορά ας πάμε πίσω στο "ΑΥ-ΠΥ-ΠΑ"
  • 5:21 - 5:23
    το ΠΑ μας λέει τι θα κάνουμε με την εφαπτομένη
  • 5:23 - 5:25
    αυτό μας λέει
  • 5:25 - 5:27
    αυτό μας λέει ότι η εφαπτομένη
  • 5:27 - 5:30
    είναι ίση με τον λόγο της απέναντι πλευρά υπεράνω της παρακείμενης πλευράς
  • 5:30 - 5:33
    είναι ίση με την απέναντι πάνω
  • 5:33 - 5:36
    η απέναντι πάνω από την παρακείμενη
  • 5:36 - 5:39
    Επομένως γι' αυτή την γωνία, ποιά είναι η απέναντι. είδη έχουμε βρει ποία είναι
  • 5:39 - 5:41
    είναι επτά. Η απέναντι είναι επτά
  • 5:41 - 5:43
    Η απέναντι είναι επτά
  • 5:43 - 5:46
    Επομένως είναι επτά πάνω από την παρακείμενη πλευρά
  • 5:46 - 5:48
    καλά αυτή η πλευρα μήκος τέσσερα είναι η παρακείμενη
  • 5:48 - 5:51
    Αυτή η πλευρά 4είναι η παρακείμενη. Έτσι η παρακείμενη πλευρά είναι τέσσερα.
  • 5:51 - 5:54
    ΄Ετσι είναι ο λόγος τέσσερα πρός επτά (4/7)
  • 5:54 - 5:56
    και έτσι έχουμε τελειώσει
  • 5:56 - 5:59
    Υπολογίσαμε τους λόγους των τριγωνομετρικών συναρτήσεων της γωνίας θ
  • 5:59 - 6:00
    Ας κάνουμε ακόμη μία
  • 6:00 - 6:03
    Θα κάνουμε αυτό λίγο πολύ σαφές.
  • 6:03 - 6:06
    "ΠΑ" ποιά είναι η εφαπτομένη της γωνίας χ, ποία η εφαπτομένη της γωνίας θ. Ας το κάνουμε αυτό ποίο σαφές
  • 6:06 - 6:08
    Ας πούμε
  • 6:08 - 6:11
    Ας πούμε. Ας μου επιτρέψετε να σχεδιάσω άλλο ένα ορθογώνιο τρίγωνο
  • 6:11 - 6:14
    Αυτό εδώ είναι ένα άλλο ορθογώνιο τρίγωνο
  • 6:14 - 6:18
    Κάθε τι που θα εξετάσουμε, αυτό θα αφορά ορθογώνια τρίγωνα
  • 6:18 - 6:21
    Ας υποθέσουμε ότι η υποτείνουσα έχει μήκος τέσσερα
  • 6:21 - 6:26
    Ας υποθέσουμε αυτή εδώ η πλευρά έχει μήκος δύο
  • 6:26 - 6:32
    και ας υποθέσουμε ότι το μήκος αυτής εδώ της πλευράς θα είναι ίση με δυο φορές την τετραγωνική ρίζα του τρία
  • 6:32 - 6:33
    Μπορεί να επιβεβαιώσουμε ότι αυτό εδώ είναι σωστό;
  • 6:33 - 6:36
    Αν πάρουμε το τετράγωνο αυτής εδώ της πλευράς, θα έχουμε, ας το γράψουμε
  • 6:36 - 6:39
    δυο φορές το τετράγωνο της τετραγωνικής ρίζας του τρία
  • 6:39 - 6:42
    συν το τετράγωνο του δυο, το οποίο είναι ίσον με τι;
  • 6:42 - 6:46
    αυτό είναι δύο. Αυτό θα είναι τέσσερες φορές το τρία
  • 6:46 - 6:50
    τέσσερες φορές το τρία συν τέσσερα
  • 6:50 - 6:53
    και αυτό εδώ θα είναι ίσο με δώδεκα συν τέσσερα που είναι ίσο με δέκα έξι
  • 6:53 - 6:58
    και το δέκα έξι είναι πραγματικά το τετράγωνο του τέσσερα. Δηλαδή αυτό είναι ίσον με το τετράγωνο το τέσσερα.
  • 6:58 - 7:02
    και αυτό μα κάνει το τετράγωνο του τέσσερα. Αυτό δηλαδή ικανοποιεί το Πυθαγόρειο θεώρημα
  • 7:02 - 7:06
    και αν θυμάστε κάποιες από τις εργασίες σας από τις γωνίες των 30,60 και 90 μοιρών
  • 7:06 - 7:08
    που μπορεί να έχετε μάθει στην γεωμετρία
  • 7:08 - 7:11
    ίσως θα μπορέσετε να αναγνωρίσετε ότι αυτό εδώ είναι ένα τρίγωνο με γωνίες 30, 60 και 90 μοιρών.
  • 7:11 - 7:13
    Αυτή η δεξιά γωνία είναι η γωνία των ενενήντα μοιρών
  • 7:13 - 7:16
    θα μπορούσα να έχω πάει να ζωγραφίσω αυτό το τρίγωνο αντί να πάω να αποδείξω ότι αυτό εδώ είναι ορθογώνιο τρίγωνο
  • 7:16 - 7:20
    αυτή εδώ η γωνία είναι γωνία τριάντα μοιρών
  • 7:20 - 7:23
    και αυτή εδώ η γωνία είναι, επάνω εδώ
  • 7:23 - 7:26
    είναι γωνία εξήντα μοιρών
  • 7:26 - 7:28
    και είναι τριάντα δεκαέξι ενενήντα επειδή
  • 7:28 - 7:32
    η πλευρά απέναντι από την γωνία των τριάντα μοιρών είναι η μισή από την υποτείνουσα
  • 7:32 - 7:37
    και τότε η πλευρά απέναντι από την γωνία των εξήντα μοιρών είναι ίση με το τρία επί το τετράγωνο του μήκους της άλλης πλευράς
  • 7:37 - 7:38
    αυτή εδώ δεν είναι η υποτείνουσα
  • 7:38 - 7:40
    Έτσι αυτό μας λέει ότι δεν τα καταφέραμε
  • 7:40 - 7:43
    αυτό υποθέτουμε δεν είναι μια επανάληψη του τριγώνου με γωνίες τριάντα, εξήντα, και ενενήντα μοιρών
  • 7:43 - 7:47
    Ας προσπαθήσουμε να βρούμε τους λόγους των τριγωνομετρικών συναρτήσεων των διαφορετικών γωνιών
  • 7:47 - 7:51
    Έτσι αν είχαμε να ρωτήσουμε εσάς ή οποιοδήποτε άλλον τι είναι
  • 7:51 - 7:55
    το ημίτονο των τριάντα μοιρών
  • 7:55 - 7:58
    και να θυμάστε γωνία 30 μοιρών είναι μία από τις γωνίες σε αυτό το τρίγωνο άρα θα πρέπει να ισχύει
  • 7:58 - 8:02
    κάθε φορά που έχεις γωνία τριάντα μοιρών και ασχολείσαι με ορθογώνια τρίγωνα
  • 8:02 - 8:05
    Θα έχουμε ευρύτερη ορισμούς στο μέλλον, αλλά αν πεις ημίτονο τριάντα μοιρών
  • 8:05 - 8:09
    Ουάου, αυτή εδώ η γωνία είναι τριάντα μοιρών, έτσι θα μπορώ να χρησιμοποιήσω αυτή την ορθή γωνία
  • 8:09 - 8:12
    και έτσι θα πρέπει να θυμάμαι "ΑΥ-ΠΥ-ΠΑ"
  • 8:12 - 8:17
    Γράφουμε αυτό . "ΑΥ-ΠΥ-ΠΑ"
  • 8:17 - 8:23
    "το ημίτονο μα λέει" (διόρθωση) το ΑΥ μας λέει τι θα κάνουμε με το ημίτονο, το ημίτονο είναι ίσο με την απέναντι πλευρά δια της υποτείνουσας
  • 8:23 - 8:26
    το ημίτονο γωνίας τριάντα μοιρών είναι η απέναντι πλευρά
  • 8:26 - 8:31
    αυτή είναι η απέναντι πλευρά η οποία είναι ίση με δύο δια της υποτείνουσας
  • 8:31 - 8:32
    Η υποτείνουσα εδώ είναι ίση με τέσσερα
  • 8:32 - 8:36
    είναι ίση με δύο τέταρτα που είναι το ίδιο με ένα δεύτερο
  • 8:36 - 8:41
    το ημίτονο των τριάντα μοιρών θα δείς ότι πάντα είναι ίσο με ένα δεύτερο
  • 8:41 - 8:44
    και τώρα με τι είναι ίσο το συνημίτονο
  • 8:44 - 8:47
    ποιό είναι το συνημίτονο των τριάντα μοιρών;
  • 8:47 - 8:50
    και πάλι ας πάμε πείσω στο "ΑΥ-ΠΥ-ΠΑ"
  • 8:50 - 8:53
    το "ΠΥ" μας λέει τι θα κάνουμε για το συνημίτονο
  • 8:53 - 8:56
    Το συνημίτονο είναι ίσο με τον λόγο της παρακείμενης δια της υποτεινούσης
  • 8:56 - 8:59
    Έτσι όταν κοιτάζουμε την γωνία των τριάντα μοιρών αυτή η πλευρά είναι η παρακείμενη
  • 8:59 - 9:02
    Αυτή εδώ η πλευρά είναι η παρακείμενη. είναι αμέσως μετά
  • 9:02 - 9:05
    δεν είναι η υποτείνουσα. είναι η παρακείμενη δια της υποτείνουσας
  • 9:05 - 9:09
    είναι δυο φορές την τετραγωνική ρίζα του τρία
  • 9:09 - 9:14
    η παράπλευρη δια της υποτείνουσας η παράπλευρη δια τέσσερα
  • 9:14 - 9:17
    ή αν θέλουμε να απλοποιήσουμε αυτό διαιρούμε τον αριθμητή και τον παρανομαστή με δυο
  • 9:17 - 9:21
    είναι ίσο με την τετραγωνική ρίζα του τρία δια δύο
  • 9:21 - 9:23
    Τέλος ας βρούμε την εφαπτομένη
  • 9:23 - 9:28
    η εφαπτομένη των τριάντα μοιρών
  • 9:28 - 9:30
    πάμε πάλι πείσο στο "ΑΥ-ΠΥ-ΠΑ"
  • 9:30 - 9:32
    "ΑΥ-ΠΥ-ΠΑ"
  • 9:32 - 9:35
    το ΠΑ μας λέει τι θα κάνουμε για να υπολογίσουμε την εφαπτομένη
  • 9:35 - 9:39
    πηγαίνουμε στην γωνία των τριάντα μοιρών γιατί αυτή είναι η γωνία που ενδιαφερόμαστε να βρούμε την εφαπτομένη
  • 9:39 - 9:42
    η εφαπτομένη των τριάντα μοιρών. Η απέναντι είναι δύο
  • 9:42 - 9:46
    η απέναντι είναι δύο και η παράπλευρη είναι δυο τετραγωνικές ρίζες του τρία
  • 9:46 - 9:48
    Είναι στην συνέχεια αυτής. Είναι παράπλευρη αυτής
  • 9:48 - 9:49
    Παράπλευρος σημαίνει αμέσως μετά
  • 9:49 - 9:52
    έτσι δυο τετραγωνικές ρίζες του τρία
  • 9:52 - 9:54
    έτσι αυτό είναι ίσο με ότι μένει αν απλοποιήσουμε τα δύο
  • 9:54 - 9:57
    ένα δια της τετραγωνικής ρίζας του τρία
  • 9:57 - 10:01
    ή μπορεί να πολλαπλασιάσουμε τον αριθμητή και τον παρανομαστή με την τετραγωνική ρίζα του τρία
  • 10:01 - 10:05
    Έτσι έχουμε τετραγωνική ρίζα του τρία δια τετραγωνική του τρία επί τετραγωνική ρίζα του τρία
  • 10:05 - 10:09
    έτσι θα είναι ο αριθμητής ίσο με την τετραγωνική ρίζα του τρία
  • 10:09 - 10:12
    και ο παρανομαστής θα είναι ίσον με τρία
  • 10:12 - 10:16
    έτσι η απλοποίηση που κάναμε μας έδωσε την τετραγωνική ρίζα του τρία δια τρία
  • 10:16 - 10:17
    Αρκετά καλά
  • 10:17 - 10:21
    Τώρα ας χρησιμοποιήσουμε το ίδιο τρίγωνο για να υπολογίσουμε τους λόγους των τριγωνομετρικών συναρτήσεων για την γωνία των εξήντα μοιρών
  • 10:21 - 10:22
    μια και έχουμε Ίδη ζωγραφίσει αυτό
  • 10:22 - 10:28
    έτσι ας δούμε ... ποιο είναι το ημίτονο των εξήντα μοιρών;
  • 10:28 - 10:30
    και νομίζω ότι μπορείτε επιτυχώς να βρείτε αυτό τώρα.
  • 10:30 - 10:34
    Μια και αυτό είναι η απέναντι πλευρά δια της υποτείνουσας "ΑΥ-ΠΥ-ΠΑ"
  • 10:34 - 10:37
    για την γωνία των εξήντα μοιρών ποία είναι η απέναντι πλευρά;
  • 10:37 - 10:39
    αυτό που προκύπτει είναι δύο φορές η τετραγωνική ρίζα του τρία
  • 10:39 - 10:43
    δηλαδή η απέναντι πλευρά είναι ίση με δύο φορές την τετραγωνική ρίζα του τρία
  • 10:43 - 10:45
    και από την γωνία των εξήντα μοιρών η παρακείμενη πλευρά ουαου λάθος
  • 10:45 - 10:48
    είναι η απέναντι πλευρά δια της υποτείνουσας
  • 10:48 - 10:51
    έτσι είναι η απέναντι δια της υποτείνουσας
  • 10:51 - 10:54
    επομένως είναι δύο επί τετραγωνική ρίζα του τρία δια τέσσερα. Τέσσερα είναι η υποτείνουσα.
  • 10:54 - 11:00
    επομένως είναι ίσον μετά την απλοποίηση, με τετραγωνική ρίζα του τρία δια δύο
  • 11:00 - 11:06
    Και τώρα ποιό είναι το συνημίτονο των εξήντα μοιρών; το συνημίτονο των εξήντα μοιρών.
  • 11:06 - 11:10
    ας θυμηθούμε το "ΑΥ-ΠΥ-ΠΑ". Το συνημίτονο είναι η παράπλευρη δια της υποτείνουσας
  • 11:10 - 11:14
    παρακείμενη πλευρά είναι πλευρά μήκους δύο, η κάθετη πλευρά που ορίζει την γωνία των εξήντα μοιρών
  • 11:14 - 11:18
    Επομένως αυτό είναι δύο δια της υποτείνουσας που είναι τέσσερα
  • 11:18 - 11:21
    Δηλαδή αυτό είναι ίσο με το εν δεύτερο
  • 11:21 - 11:24
    και τελικά πόσο είναι η εφαπτομένη;
  • 11:24 - 11:28
    πόσο είναι η εφαπτομένη των εξήντα μοιρών;
  • 11:28 - 11:32
    Καλά γνωρίζουμε "ΑΥ-ΠΥ-ΠΑ". Η εφαπτομένη είναι απέναντι πλευράς δια της παρακείμενης
  • 11:32 - 11:35
    η απέναντι πλευρά από την γωνία των εξήντα μοιρών
  • 11:35 - 11:36
    είναι ίση με δύο επί την τετραγωνική ρίζα του τρία
  • 11:36 - 11:38
    δύο φορές η τετραγωνική ρίζα του τρία
  • 11:38 - 11:40
    και η παρακείμενη σ' αυτή
  • 11:40 - 11:43
    η παρακείμενη σ' αυτή είναι ίση με δύο.
  • 11:43 - 11:45
    Η παρακείμενη πλευρά στην γωνία των εξήντα μοιρών είναι δύο.
  • 11:45 - 11:49
    Έτσι η απέναντί δια της παρακείμενης είναι, δύο φορές η τετραγωνική ρίζα του τρία δια δύο
  • 11:49 - 11:53
    η οποία είναι ακριβώς ίση με την τετραγωνική ρίζα του τρία
  • 11:53 - 11:55
    Και τώρα θέλουμε να δούμε πως αυτές σχετίζονται.
  • 11:55 - 11:58
    Το ημίτονο των τριάντα μοιρών είναι ίσον με το συνημίτονο των εξήντα μοιρών
  • 11:58 - 12:01
    Το συνημίτονο των 30 μοιρών είναι το ίδιο με το ημίτονο των 60 μοιρών
  • 12:01 - 12:04
    και αυτό μας οδηγεί να δούμε ότι το ένα είναι αντίστροφό του άλλου
  • 12:04 - 12:06
    και νομίζω αν σκεφτείτε λίγο για αυτό το τρίγωνο
  • 12:06 - 12:07
    αυτό αρχίζει να έχει νόημα. Γιατί;
  • 12:07 - 12:08
    θα συνεχίσουμε να επεκτείνουμε αυτό
  • 12:08 -
    δίνοντας σας περισσότερες ασκήσεις πρακτικής στα επόμενα βίντεο
Title:
Basic Trigonometry II
Description:

One of the most popular Khan Academy videos, Basic Trigonometry doesn't have any subtitles - help translate it into as many languages possible!
more » « less
Video Language:
English
Team:
Volunteer
Duration:
12:11
dak26742 edited Greek subtitles for Basic Trigonometry II
dak26742 edited Greek subtitles for Basic Trigonometry II
dak26742 edited Greek subtitles for Basic Trigonometry II
dak26742 edited Greek subtitles for Basic Trigonometry II
dak26742 edited Greek subtitles for Basic Trigonometry II
dak26742 added a translation

Greek subtitles

Revisions Compare revisions

Our website uses cookies for analysis purposes.