¿Qué son los números? | Kit Fine | TEDxNewYork

Esta charla fue dada en un evento TEDx local, producido independientemente de las conferencias TED.

Los números no son objetos físicos ni mentales. No existen en el espacio o el tiempo, y aún así, estamos íntimamente conectados con ellos. En esta cautivante charla, Kit Fine considera tres enfoques sobre la naturaleza de los números.

Los números son extraños.

No son objetos físicos.

Nadie se ha topado con el número dos
o ha tropezado el número tres;

ni siquiera el loco profesor
de matemáticas de Uds.

No son objetos mentales tampoco.

La idea de un ser amado no es el ser amado

no importa cuánto puedan querer que lo sea

y tampoco la idea del número tres,
es el número tres.

Los números tampoco existen
en el tiempo o el espacio.

No esperen encontrar al número tres
en los gabinetes de la cocina

y no necesitan preocuparse

de si los números alguna vez no existieron
o de que un día dejen de existir.

Pero a pesar de que los números

están muy lejos del mundo habitual
de los pensamientos y las cosas,

están íntimamente conectados con ese mundo
porque hacemos cosas con ellos.

Contamos con ellos, medimos con ellos,

formulamos nuestras
teorías científicas con ellos.

Esto es lo que los hace
todo lo extraño que son.

¿Cómo es que están tan alejados
del mundo habitual

y aún así intimamente conectados con él?

En esta charla busco abordar tres enfoques
acerca de la naturaleza de los números

que fueron desarrollados
por matemáticos y filósofos

hacia finales del siglo XIX
y principios del siglo XX.

Estos enfoques presuponen
que, estrictamente hablando,

lo que contamos no son cosas
sino grupos de cosas.

Un grupo no es más que varias cosas,
las que quieran, consideradas como una.

Así por ejemplo, tenemos el grupo de
botellas de cerveza que bebieron anoche.

Ponemos las botellas entre
esas llaves para indicar

que las seis botellas están siendo
consideradas como un objeto.

Luego tenemos el grupo que consiste en
sus dos mascotas favoritas, Fido y Félix.

O tenemos el grupo formado
por los números naturales,

puestos así juntos
en este grupo muy grande:

{0, 1, 2, 3, 4...} y así.

Y lo que hacemos cuando contamos
es asociar un número con un grupo.

En el caso de las botellas,
con el número seis,

suponiendo que no estén demasiado
borrachos para contarlas.

En el caso de sus mascotas, el número dos.

Y en el caso de de los números naturales,
cuando los pongamos en un gran grupo

va a ser un número infinito.

El primer enfoque que quiero considerar
sobre la naturaleza de los números

fue desarrollada independientemente
por dos grandes matemáticos y filósofos:

Gottlob Frege y Bertrand Russel.

Estos dos individuos fueron
muy diferentes uno del otro.

Russel venía de la aristocracia inglesa,

Frege de la cómoda clase media alemana.

Russel fue un entusiasta liberal

Frege, perdón por decirlo,
fue un protonazi.

Russel tuvo cuatro esposas
e innumerables amantes;

Frege tuvo una sola esposa,

y hasta donde yo se, disfrutó
de una feliz y estable vida marital.

Pero a pesar de estas diferencias,

tuvieron más o menos la misma visión
acerca de la naturaleza de los números

¿Y cuál era?

Bien, tomemos el número dos, por ejemplo.

El dos puede usarse para numerar
cualquier grupo de dos miembros o par.

así que puede usarse para numerar el grupo
cuyos miembros son Frege y Russell.

O puede usarse para numerar el grupo

consistente en sus mascotas
favoritas, Fido y Félix.

O puede usarse para numerar

las dos famosas ciudades
de Dickens: Londres y París.

Insistí en que Londres
fuera colocada primero.

(Risas)

La idea de Russel y Frege fue poner
todos estos pares en un único gran grupo.

Los apilamos todos en un gran grupo
y eso sería el número dos.

Así el número dos sería un grupo de grupos

y esos grupos serían todos los pares
que podrían contarse con el número dos.

De forma similar para todos
los demás números.

El número tres sería
el grupo de todos los tríos,

El número cuatro el grupo
de todos los cuartetos, y así.

Una teoría simple y bella.

Desafortunadamente,
conduce a una contradicción.

No puedo hacer aquí
una demostración de la contradicción,

pero puedo darles
una impresión de cómo surge.

Recuerden que el número dos era
el grupo de TODOS los pares

TODOS los pares de lo que sea.

Así que, en particular, incluiría pares
que contienen al número dos.

Veamos uno de esos pares en particular,

el par consistente en el número dos
y el número uno. Luego ese par,

el par {1,2}, estaría él mismo
dentro del número dos.

Así que el número dos
se contendría a sí mismo,

lo cual aparenta ser imposible.

He aquí una analogía:

imaginen una serpiente muy hambrienta
que trate de comerse su propia cola.

Podría tener éxito en hacer esto.

--esto es lo mejor que podemos
hacer a modo de ilustración--

Es grotesco, pero posible.

(Risas)

Pero imaginen ahora que
la serpiente es tan voraz

que intenta comerse a sí
misma por completo.

Esto ni siquiera es posible

pues entonces el estómago de la serpiente
debería estar dentro de su estómago.

Y eso es lo que pasa con el número dos.

El número dos, como ven, está él mismo
dentro de su propio estómago.

¿Qué se podía hacer?

El matemático John von Neumann
dio con una brillante solución,

von Neumann fue quizas uno
de los matemáticos más versátiles

que jamás haya existido.

Ayudó a inventar la teoría del juego
y la computadora moderna.

Era un prodigio

y tuvo las más asombrosas
dotes computacionales.

¿Cuál fue su solución?

Aquí está él.

Él dijo: "Bien veamos,
en lugar de tomar al número dos

como el grupo de todos los pares,

hay que tomarlo
como un par en particular".

Bien, ¿qué par sería?

Él sugirió que el número dos
debía ser el grupo de sus predecesores

Dos tiene dos predecesores, cero y uno.

Tomamos a dos como el grupo
cuyos mienbros son cero y uno.

Pero todavía tenemos números,
tenemos el cero y el uno.

El cero es el grupo de sus predecesores.

Cero no tiene predecesores
por lo que es llamado 'el grupo nulo'

el grupo con ningún miembro.

Y uno tiene un predecesor,
el cual es cero.

Así que el uno es el grupo
cuyo único miembro es cero.

Aquí tenemos definido el dos,
definido el uno y definido el cero.

Si juntamos esas definiciones,
tenemos el grupo.

El número dos es el grupo cuyos
dos miembros son el grupo nulo,

el cual es el número cero

y el grupo cuyo único miembro es
el grupo nulo, el cual es el número uno.

Esto es lo que de acuerdo a
von Neumann es el número dos;

son todos los grupos por debajo

--grupos, no tortugas--

Y realmente se toca fondo también.

De manera similar para todos
los demás números,

el número tres sería algo
aún más complicado, y así.

Recuerden, el enfoque de Frege-Russell
daba a luz monstruos.

Aquí no tenemos más monstruos;

el monstruo se volvió ángel.

Porque aunque el número dos
contiene otros números,

no se contiene a sí mismo.

El monstruo siempre está comiendo
a un monstruo más pequeño, digamos.

No se pone en su propio camino.

Este enfoque hoy es generalmente aceptado
por filósofos y matemáticos,

pero también tiene sus dificultades.

Una dificultad en especial que me molesta

es que no hay nada especial
respecto del número dos.

Buscamos que el número dos sea
lo que es común a todos los pares,

pero el número dos de von Neumann
es sólo un par entre muchos,

y no hay nada especial en el modo

en el cual ese par es común
a todos los pares.

Esto no hace especial al
número dos en modo alguno;

Es sólo un par entre muchos.

Vamos ahora al enfoque final
y el que a mí me gusta más.

Es un enfoque que generalmente
es desestimado o ignorado

por los filósofos y matemáticos de hoy.

Fue desarrollado por Georg Cantor
a finales del siglo XIX.

Cantor fue un individuo
de muchos talentos,

un brillante violinista,

con muy amplios intereses,
abarcando desde religión hasta literatura.

Pero es mejor conocido por
su teoría de números infinitos

Cantor buscaba contar
no sólo colecciones finitas

--sé que hay muchas personas aquí,
pero sigue siendo un número finito---

pero no sólo las colecciones finitas,
como el número de personas aquí,

o el número de estrellas en la Vía Láctea,

él buscaba también contar
colecciones infinitas,

como la colección de todos
los números naturales

o la de todos los puntos del espacio.

Para ese fin, intentó desarrollar
una teoría general de los números.

¿Cuál fue su enfoque?

Nuevamente, tomemos el número dos.

Tomemos dos objetos, Fido y Félix.

Ahora Cantor dijo:

"Miren, despojemos a esos dos objetos
de todas sus características individuales

más allá del hecho de
distinguirlos uno del otro".

Así que eliminamos sus pieles,

eliminamos la carne y la sangre

hasta dejar simplemente
dos objetos desnudos

que él llamó unidades
sin diferenciación alguna.

Espero que no haya defensores
de los animales entre ustedes.

De todos modos, esto les pasa a las
mascotas cuando quedan a cargo de Cantor.

Pero ¿qué son estas unidades?

Bueno, tomen los dos dólares
de su cuenta bancaria

--espero que les queden dos dólares
luego de pagar la entrada--

esos dos dólares no son
ningunos en particular,

pero cuando Uds. van
a un cajero automático

pueden extraerlos como
dos dólares en particular.

No son esos dólares en particular,

pero pueden ser extraidos como
cualesquiera dos dólares en particular.

Estas son las unidades de Cantor.

Pero cuando Uds. van al cajero
cantoriano a extraer sus unidades

obtienen dos objetos cualesquiera.

Es lo máximo en tentar la suerte.

La idea de Cantor fue esta:

tomemos el número dos y que sea
el grupo de esas dos unidades.

Así que tomamos esas dos unidades,

las cuales pueden derivarse
de cualquier par de objetos,

y el número dos es el grupo
de esas dos unidades.

Y de manera similar para
todos los otros números

el número tres sería el grupo
de tres unidades,

y así sucesivamente.

Tenemos tres enfoques sobre la mesa.

El enfoque Frege-Russell

de acuerdo al cual el número dos
es el grupo de todos los pares;

el enfoque de von Neumann,

de acuerdo al cual el número dos es el
grupo cuyos miembros son el cero y el uno;

y el enfoque cantoriano,

según el cual el dos
es el grupo de dos unidades.

El enfoque Frege-Russell cría monstruos,
así que no podemos tenerlo.

El enfoque von Neumann
no da apropiada cuenta

de por qué el número dos
es común a todos los pares.

El enfoque cantoriano no sufre
ninguna de esas dificultades.

No cría monstruos porque el número dos
sólo contiene unidades;

el número dos no se contiene a sí mismo.

Y es, de manera obvia,
común a todos los pares

porque es derivado por medio
de este proceso de abstracción,

o eliminación, a partir de cada par.

Así, gracias a Cantor,
sabemos lo que son los números.

Gracias.

(Aplausos)