Basic Trigonometry II

One of the most popular Khan Academy videos, Basic Trigonometry doesn't have any subtitles - help translate it into as many languages possible!

Хајде да урадимо још тону примера,

само да би се уверили да добро капирамо ове тригонометријске функције.

Дакле, хајде да конструишемо себи неке правоугле троуглове.

Конструишимо себи неке правоугле троуглове,

и желим да будем веома јасан.

Како сам то до сада дефинисао, важиће само за правоугли троугао.

Тако да, ако покушате да пронађете тригонометријске функције углова који не припадају правоуглом троуглу,

видећемо да ћемо морати да конструишемо правоугле троуглове,

али хајде да се фокусирамо на правоугле троуглове, за сада.

Дакле, рецимо да имам троугао,

где је, рецимо, ова дужина доле 7,

и рецимо да је дужина ове странице овде горе,

рецимо да је она 4.

Хајде да пронађемо колика ће бити ова хипотенуза овде.

Значи, знамо - назовимо хипотенузу "h" -

знамо да ће h на квадрат бити једнако 7 на квадрат + 4 на квадрат,

знамо то из Питагорине теореме,

да је хипотренуза на квадрат једнака

квадрату сваке, збиру квадрата остале две странице.

h на квадрат је једнако 7 на квадрат + 4 на квадрат.

Значи, ово је једнако 49 + 16,

49 + 16,

49 + 10 је 59, + 6 је 65.

То је 65, дакле, ово h на квадрат,

дајте да напишем: - h на квадрат - то је друга нијанса жуте -

значи, имамо h на квадрат да је једнако 65.

Да ли сам урадио како треба? 49 + 10 је 59, + још 6 је 65,

или би могли да кажемо да је h једнако, ако извадимо корен из обе стране,

квадратни корен

квадратни корен из 65. И заиста не можемо да упростимо ово уопште.

Ово је 13.

Ово је исто што и 13 пута 5,

оба ова нису идеални квадрати и

оба су прости тако да не можете ово упростити више.

Дакле, ово је једнако квадратном корену из 65.

Сада, хајде да нађемо тригонометријске, пронађимо тригонометријске функције за овај угао овде горе.

Назовимо тај угао горе тета.

Дакле, шта год да радите

увек треба то да запишете - бар за мене, вреди написати -

"сох-ках-тоа".

"сох"...

..."сох-ках-тоа". Имам замагљена сећања

на мог наставника тригонометрије.

Можда сам их и прочитао у некој књизи. Не знам - знате, неке...о

некој индијанској принцези која се звала "сох-ках-тоа" или тако нешто,

али је веома користан подсетник,

тако да можемо да применимо "сох-ках-тоа".

Хајде да нађемо, рецимо да хоћемо да нађемо косинус.

Желимо да нађемо косинус нашег угла.

Желимо да нађемо косинус нашег угла, кажете: "сох-ках-тоа!"

Значи, "ках". "Ках" нам говори шта да радимо са косинусом,

"Ках" део нам каже

да је косинус наспрамна (оригинал: adjacent) кроз хипотенузу.

Косинус је једнак наспрамна кроз хипотенузу.

Па, хајде да погледамо овде где је тета; која је страница налегла?

Па, знамо да је хипотенуза,

знамо да је хипотенуза ова страница овде.

Значи, да не може да буде та страница. Једина друга страница која је некако налегла на њега, а

да није хипотенуза, је ова 4.

Дакле, налегла страница овде, та страница је,

она је буквално, одмах уз угао,

она је једна од страница које формирају угао,

то је 4 кроз хипотенузу.

За хипотенузу већ знамо да је квадратни корен из 65,

тако да је то 4 кроз квадратни корен из 65.

И понекад ће људи хтети да рационализујете именилац, што значи

да не желе да имају ирационалан број у имениоцу,

као што је квадратни корен из 65,

и ако они - ако желите да напишете ово без ирационалног броја у имениоцу,

можете да помножите бројилац и именилац

квадратним кореном из 65.

Ово, јасно, неће променити број,

зато што га множимо нечим кроз то исто,

тако да множимо број са 1.

То неће променити број, али се бар ослобађамо ирационалнох броја у имениоцу.

Значи да бројилац постаје

4 пута квадратни корен из 65,

а именилац, квадратни корен из 65 пута квадратни корен из 65, ће једноставно бити 65.

Нисмо се ослободили ирационалног броја, он је још увек ту, али је сада у бројиоцу.

Сада, хајде да урадимо остале тригонометријске функције

или бар остале, основне тригонометријске функције.

Научићемо касније да их заправо, има тона,

али су оне све изведене из ових.

Дакле, хајде да размислимо о томе шта је синус тета. Још једном на "сох-ках-тоа".

"Сох" нам каже шта да радимо са синусом. синус је супротна над хипотенузом.

Синус је једнак супротна кроз хипотенуза.

Синус је супротна кроз хипотенуза.

Па, за овај угао, која страница је супротна?

Идемо само насупрот, ка ономе ка чему се отвара, његова супротна је 7.

Значи, супротна страница је 7.

Ово, управо овде - то је супротна страница

и онда хипотенуза, то је супротна кроз хипотенуза.

Хипотенуза је квадратни корен из 65.

Квадратни корен из 65.

И још једном, када би хтели да рационализујемо ово,

могли би да помножимо пута квадратни корен из 65 кроз квадратни корен из 65

и у бројиоцу ћемо добити 7 квадратних корена из 65,

а у бројиоцу ћемо добити само 65, поново.

Сада, хајде да урадимо тангенс!

Урадимо тангенс.

Дакле, ако вам тражим тангенс

од - тангенс од тета,

опет идемо назад на "сох-ках-тоа".

"Тоа" део нам говори шта да радимо са тангенсом.

Говори нам...

Каже нам да је тангенс

једнак супротна кроз налегла,

је једнак супротна кроз

супротна кроз налегла

Дакле, за овај угао, шта је супротна? Већ смо пронашли

да је 7. Отвара се ка 7.

Он је насупрот 7.

Значи, то је 7 кроз ону страницу која је налегла.

Па, ових 4 је налегла.

Ових 4 је налегла. Тако да је налегла страница 4.

Значи, то је 7 кроз 4,

и завршили смо.

Пронашли смо све тригонометријске односе за тета. Урадимо још један.

Хајде да урадимо још један.

Направићу га мало конкретнијим, јер сада говоримо

"ох, шта је тангенс од х, тангенс од тета." Хајде да буде мало конкретнији.

Рецимо...

Рецимо, дајте да нацртам још један правоугли троугао.

То је други правоугли троугао овде.

Све са чиме радимо, односи се на правоугле троуглове.

Рецимо да хипотенуза има дужину 4,

рецимо да ова страница овде има дужину 2,

и рецимо да ће ова дужина овде бити два пута квадратни корен из 3.

Можемо проверити да ли ово важи.

Ако имате ову страницу квадрирану, тако да имате - дајте да запишем то -

2 пута квадратни корен из 3 на квадрат

+ 2 на квадрат, је једнако, чему?

Ово је 2. Биће 4 пута 3.

4 пута 3 + 4,

и ово ће бити једнако 12 + 4 је једнако 16

а 16 је заправо 4 на квадрат. Значи, ово је једнако 4 на квадрат,

то јесте једнако 4 на квадрат. Задовољава Питагорину теорему

и ако се сећате неких од задатака из 30 60 90 троуглова

које сте могли да научите у геометрији,

можда ћете препознати да је ово 30 60 90 троугао.

Ово овде је наш прав угао,

- требало је да га нацртам на почетку да бих вам показао да је ово правоугли троугао -

овај угао овде је наш угао од 30 степени

а затим овај угао овде, овај овде је

угао од 60 степени,

и то је 30 60 90 јер

страница супротна од 30 степени је половина хипотенузе,

а затим страница супротна од 60 степени ја квадрат од 3 пута друга страница

која није хипотенуза.

Дакле, то нам је рекло, ми нећемо...

Ово није предвиђено да буде анализа 30 60 90 троуглова, иако сам то управо урадио.

Хајде да заиста пронађемо тригонометријске односе за различите углове.

Дакле, ако бих вас питао или ако би вас било ко питао, колики је...

Колики је синус од 30 степени?

И сетите се да је 30 степени један од углова у овом троуглу, али може бити примењен

увек када имате угао од 30 степени и имате правоугли троугао.

Проширићемо дефиниције у будућности, али ако кажете синус од 30 степени,

хеј, овај угао овде је 30 степени, тако да могу да применим овај правоугли троугао.

И само треба да се сетимо "сох-ках-тоа"

Преписаћемо то, "сох-ках-тоа".

Синус нам говори, "сох" нам говори шта треба да радимо са синусом. Синус је супротна (оригинал: opposite) кроз хипотенузу.

Синус од 30 степени је супротна страница,

то је супротна страница, која је 2, кроз хипотенузу.

Хипотенуза је овде 4.

То је 2/4 што је исто што и 1/2.

Синус од 30 степени ће увек бити, видећете, једнак 1/2.

Сада, колики је косинус?

Колики је косинус од 30 степени?

Још једном се вратимо на "сох-ках-тоа"

"Ках" нам говори шта треба да радимо са косинусом.

Косинус је налегла (оригинал: adjacent) кроз хипотенузу.

Дакле, погледамо у угао од 30 степени и видимо која је налегла.

Ова, управо овде је налегла. Она је непосредно поред.

Она није хипотенуза. То је налегла кроз хипотенуза.

Значи, то је 2 квадратна корена из 3,

налегла кроз... кроз хипотенуза, кроз 4.

Или, ако упростимо то, поделимо бројилац и именилац са 2.

То је квадратни корен из 3 кроз 2.

И на крају, урадимо тангенс.

Тангенс од 30 степени,

враћамо се на "сох-ках-тоа".

"Сох-ках-тоа".

"Тоа" нам говори шта радимо са тангенсом. То је супротна кроз налегла.

Идете на угао од 30 степени зато што нас он занима, тангенс од 30.

Тангенс од 30. Супротна је 2,

супротна је 2, а налегла је 2 квадратна корена из 3.

Она је непосредно поред. Она је налегла не њега.

Налегла значи тик уз.

Значи, 2 квадратна корена из 3.

дакле, ово је једнако... двојке се поништавају

1 кроз квадратни корен из 3

Или можемо помножити бројилац и именилац квадратним кореном из 3.

Тако да имамо квадратни корен из 3 кроз квадратни корен из 3.

И значи, ово ће бити једнако у бројиоцу, квадратни корен из 3 и онда

у имениоцу, овде ће бити само 3.

Тако да смо рационализовали квадратни корен из 3 кроз 3.

Довољно добро.

Сада, хајде да употребимо исти троугао да пронађемо тригонометријске односе за 60 степени,

пошто смо га већ нацртали.

Дакле, колики је... колики је синус од 60 степени?

И надам се да хватате прикључак.

Синус је супротна кроз хипотенуза. "Сох" из "сох-ках-тоа".

За угао од 60 степени, која је страница супротна,

она према којој се отвара је 2 квадратна корена из 3.

Дакле, супротна страница је 2 квадратна корена из 3,

и за угао од 60 степени, нал... - ох, извините,

то је супротна кроз хипотенузу, не желим да вас збуним.

Значи, то је супротна кроз хипотенузу.

Дакле, то је 2 квадратна корена из 3 кроз 4. 4 је хипотенуза.

Значи, то је једнако, ово се упрости на квадратни корен из 3 кроз 2.

Колики је косинус од 60 степени? Косинус од 60 степени.

Па, сетите се "сох-ках-тоа". Косинус је налегла кроз хипотенуза.

Налегла је страница 2, непосредно уз угао од 60 степени.

Дакле, то је 2 кроз хипотенуза, која је 4.

Значи, ово је једнако 1/2.

И онда, на крају, колики је тангенс?

Колики је тангенс од 60 степени?

Па, тангенс, "сох-ках-тоа". Тангенс је супротна кроз налегла.

Супротна од 60 степени

је 2 квадратна корена из 3,

2 квадратна корена из 3,

а налегла на угао,

налегла на угао је 2.

Налегла на 60 степени је 2.

Дакле, то је супротна кроз налегла, 2 квадратна корена из 3 кроз 2,

што је једнако само квадратном корену из 3.

И само сам хтео да - погледајте како се ови односе -

синус од 30 степени је исто што и косинус од 60 степени.

Косинус од 30 степени је исто што и синус од 60 степени.

И затим, ови момци су инверзни један другом.

И мислим да ако размислите мало о овом троуглу

да ће почети да има смисла зашто је то тако.

Прошириваћемо ово и

дати вам много више примера за вежбање у следећих неколико снимака.