-
Ας κάνουμε αρκετά ακόμη παραδείγματα
-
Έτσι ώστε να σιγουρευτούμε ότι κατανοήσαμε καλά αυτές τις τριγωνομετρικές συναρτήσεις.
-
Ας φτιάξουμε λοιπόν μόνοι μας κάποια ορθογώνια τρίγωνα
-
Ας φτιάξουμε λοιπόν μόνοι μας κάποια ορθογώνια τρίγωνα
-
Και θέλω να είμαι πολύ σαφής
-
Ο τρόπος που έχουμε ορίσει αυτές τις συναρτήσεις μέχρι στιγμής ισχύουν μόνο για ορθογώνια τρίγωνα.
-
Έτσι αν προσπαθήσετε να ορίσετε τις τριγωνομετρικές συναρτήσεις γωνιών που δεν είναι μέρος ενός ορθογωνίου τριγώνου
-
θα δούμε ότι χρειάζεται να κατασκευάσουμε ορθογώνια τρίγωνα
-
Αλλά προς στιγμή ας συγκεντρωθούμε στα ορθογώνια τρίγωνα.
-
Ας υποθέσουμε ότι έχουμε ένα τρίγωνο
-
όπου το μήκος της κάτω πλευράς είναι 7
-
και ας υποθέσουμε ότι το μήκος της άλλης πλευράς
-
είναι 4
-
Και τώρα ας υπολογίσουμε ποίο είναι το μήκος της υποτείνουσας
-
Με όσα γνωρίζουμε. Ας ονομάσουμε την υποτείνουσα "h"
-
Γνωρίζουμε ότι το τετράγωνο της υποτείνουσας h θα είναι ίσο με το τετράγωνο του 7 συν το τετράγωνο του 4
-
αυτό το γνωρίζουμε από το Πυθαγόρειο Θεώρημα.
-
δηλαδή ότι το τετράγωνο της υποτείνουσας είναι ίσον με το
-
το άθροισμα των τετραγώνων των δυο άλλων πλευρών
-
το τετράγωνο του h είναι ίσον με το τετράγωνο του7 συν το τετράγωνο του 4
-
δηλαδή αυτό είναι ίσον με σαράντα εννέα (49) συν δέκα έξη (16)
-
49 συν 16
-
σαράντα εννέα συν δέκα είναι ίσον με πενήντα εννέα συν έξι εξήντα πέντε
-
Αυτό είναι εξήντα πέντε, δηλαδή το εξήντα πέντε είναι το τετράγωνο του h
-
Ας μου επιτρέψετε να γράψω το τετράγωνο το h με διαφορετικό χρώμα
-
έτσι έχουμε λοιπόν το τετράγωνο του h ίσον με εξήντα πέντε
-
Ας δούμε αν το υπολόγισα αυτό σωστά. Σαράντα εννέα συν δέκα πενήντα εννέα , συν έξι εξήντα πέντε
-
ή θα μπορούσαμε να πούμε ότι το h είναι ίσον με την τετραγωνική των δυο άλλων πλευρών
-
τετραγωνική ρίζα
-
η τετραγωνική ρίζα του εξήντα πέντε . Και πραγματικά δεν μπορούμε να απλοποιήσουμε αυτό παραπάνω
-
αυτή είναι δέκα τρία
-
Αυτό είναι το ίδιο με το να λέμε δέκα τρία επί πέντε
-
και τα δυο από αυτούς τους αριθμούς δεν είναι τέλεια τετράγωνα
-
και οι δυο τους είναι πρώτοι αριθμοί και έτσι δεν μπορούμε να τους απλοποιήσουμε περισσότερο.
-
Έτσι αυτό είναι ίσο με την τετραγωνική ρίζα του εξήντα πέντε.
-
Και τώρα ας βρούμε τις τριγωνομετρικές συναρτήσεις για αυτή την γωνία επάνω εδώ
-
Ας ονομάσουμε αυτή την γωνία θ
-
Έτσι κάθε φορά που κάνετε αυτό
-
εσείς πάντα θα γράφετε - αυτό τουλάχιστον για μένα αξλιζει να το γράφετε-
-
ημ-συν-εφ=ΑΥ-ΠΥ-ΠΑ
-
ημ
-
Έχω αυτό το αόριστο φωνητικό σύμπλεγμα μνήμης
-
από τον καθηγήτη μου στην Τριγωνομετρία
-
Μπορεί να έχω διαβάσει αυτό και σε κάποιο βιβλίο. Δεν το ξέρω , εσείς ξέρετε κάτι γι' αυτό;
-
Το ΑΥ-ΠΥ-ΠΑ Μοιάζει σαν το όνομα κάποιας Ινδής Πριγκίπισσας ή οτιδήποτε άλλο
-
αλλά είναι μια πολύ χρήσιμη έκφραση απομνημόνευσης
-
έτσι μπορεί να εφαρμόσουμε το "ΑΥ-ΠΥ-ΠΑ"
-
Ας βρούμε, ας υποθέσουμε ότι θέλουμε να βρούμε το συνημίτονο
-
Θέλουμε να βρούμε το συνημίτονο της γωνίας θ
-
Αν θέλουμε να βρούμε το συνημίτονο της γωνίας μας θ , λέμε "ΑΥ-ΠΥ-ΠΑ"
-
Αυτό μας λέει τι θα κάνουμε για να βρούμε το "συν"
-
το μέρος "ΠΥ" από το "ΑΥΠΥΠΑ" μας λέει
-
ότι το συνημίτονο είναι ίσο με τον λόγο της παρακείμενης πλευράς ως πρός την υποτείνουσα
-
το συνημίτονο είναι ίσο με τον λόγο της προσκείμενης πλευράς ως πρός την υποτείνουσα
-
Ας κοιτάξουμε λοιπόν την γωνία θ ; ποία πλευρά είναι η παρακείμενη
-
καλά ξέρουμε ότι η υποτείνουσα
-
ξέρουμε ότι η υποτείνουσα είναι αυτή εδώ η πλευρά
-
Επομένως αυτή δεν μπορεί να είναι η πλεύρα που ζητάμε. Η μόνη πλευρά που μπορεί να είναι παρακείμενη σ'αυτή
-
δεν είναι η υποτείνουσα είναι αυτή που είναι ίση με τέσσερα
-
Έτσι η παράπλευρη πλευρά στην γωνία θ είναι αυτή εδώ η πλευρά
-
είναι ακριβώς δίπλα στην γωνία
-
είναι μία από τις πλευρές αυτού του είδους που σχηματίζουν την γωνία
-
το συν είναι ο λόγος 4 ως πρός την υποείνουσα
-
Η υποτείνουσα ξέρουμε ότι είναι ίση με την τετραγωνική ρίζα του εξήντα πέντε
-
δηλαδή είναι ο λόγος 4 ως προς την τετραγωνική ρίζα του εξήντα πέντε
-
και μερικές φορές οι άνθρωποι θέλουν να κατανοήσουν τι πραγματικά σημαίνει ο παρανομαστής
-
δεν θέλουν να έχουν ένα μη κατανοητό παρανομαστή
-
όπως η τετραγωνική ρίζα του εξήντα πέντε
-
και αν αυτοί δεν θέλουν - και εσύ δεν θέλεις να ξαναγράψεις ένα μη κατανοητό αριθμό στον παρανομαστή
-
μπορεί να πολλαπλασιάσεις τον αριθμητή και τον παρανομαστή
-
με την τετραγωνική ρίζα του εξήντα πέντε
-
αυτό σίγουρα δεν θα αλλάξει τον αριθμό
-
επειδή πολλαπλασιάζουμε αυτόν με κάτι πάνω από τον εαυτό του
-
δηλαδή πολλαπλασιάζουμε τον αριθμό με την μονάδα
-
αυτό δεν αλλάζει τον αριθμό , αλλά τουλάχιστον μας απαλλάσσει από τον ακατανόητο αριθμό στον παρανομαστή
-
έτσι ο αριθμητής γίνεται
-
τέσσερες φορές η τετραγωνική ρίζα του εξήντα πέντε
-
και ο παρανομαστής γίνεται τετραγωνική ρίζα του 65 επί τετραγωνική ρίζα του 65 ίσον με 65.
-
Εμείς δεν απαλλαγήκαμε ακόμη από τους ακατανόητους αριθμούς, αυτοί είναι ακόμα εκεί, αλλά είναι τώρα στον αριθμητή
-
τώρα ας κάνουμε τις άλλες τριγωνομετρικές συναρτήσεις
-
ή τουλάχιστον τις υπόλοιπες βασικές συναρτήσεις
-
Μελλοντικά θα μάθουμε ότι υπάρχουν πολλές απ' αυτές
-
αλλά όλες αυτές πηγάζουν (ορίζονται) από αυτές τις βασικές
-
Λοιπόν ας σκεφτούμε τι είναι το ημ θ. Και ας πάμε άλλη μια φορά στο "ΑΥ-ΠΥ-ΠΑ"
-
Το ΠΥ από το "ΑΥ-ΠΥ-ΠΑ" μας λέει τι θα κάνουμε με το ημίτονο (ημ.)
-
Το ημίτονο είναι ίσον με τον λόγο της απέναντι πλευράς ως προς την υποτείνουσα
-
Ημίτονο είναι η απέναντι δια της υποτείνουσας (Α/Υ)
-
Λοιπόν γι' αυτή την γωνία ποία είναι η απέναντι πλευρά;
-
Πάμε ακριβώς απέναντι απ' αυτή , η οποία είναι η πλευρά με μήκος επτά
-
επομένως η απέναντι πλευρά έχει μήκος επτά
-
Αυτή είναι, αυτή εδώ - η οποία είναι η απέναντι πλευρά
-
και μετά η υποτείνουσα, είναι η απέναντι υπεράνω της υποτείνουσας (Α/Υ)
-
Η υποτείνουσα είναι η τετραγωνική ρίζα του εξήντα πέντε
-
τετραγωνική ρίζα του εξήντα πέντε
-
και για μια φορά ακόμη αν θέλουμε να κάνουμε κατανοητό αυτό
-
θα πρέπει να πολλαπλασιάσουμε τον αριθμητή και τον παρανομαστή με την τετραγωνική ρίζα του εξήντα πέντε
-
και ο αριθμητής θα είναι ίσος με επτά φορές την τετραγωνική ρίζα του εξήντα πέντε
-
και ο παρανομαστής θα είναι πάλι εξήντα πέντε
-
Και τώρα ας υπολογίσουμε την εφαπτομένη !
-
Ας υπολογίσουμε την εφαπτομένη
-
Έτσι αν ζητήσω από σας την εφαπτομένη
-
την εφαπτομένη της γωνίας θήτα (θ)
-
για άλλη μια φορά ας πάμε πίσω στο "ΑΥ-ΠΥ-ΠΑ"
-
το ΠΑ μας λέει τι θα κάνουμε με την εφαπτομένη
-
αυτό μας λέει
-
αυτό μας λέει ότι η εφαπτομένη
-
είναι ίση με τον λόγο της απέναντι πλευρά υπεράνω της παρακείμενης πλευράς
-
είναι ίση με την απέναντι πάνω
-
η απέναντι πάνω από την παρακείμενη
-
Επομένως γι' αυτή την γωνία, ποιά είναι η απέναντι. είδη έχουμε βρει ποία είναι
-
είναι επτά. Η απέναντι είναι επτά
-
Η απέναντι είναι επτά
-
Επομένως είναι επτά πάνω από την παρακείμενη πλευρά
-
καλά αυτή η πλευρα μήκος τέσσερα είναι η παρακείμενη
-
Αυτή η πλευρά 4είναι η παρακείμενη. Έτσι η παρακείμενη πλευρά είναι τέσσερα.
-
΄Ετσι είναι ο λόγος τέσσερα πρός επτά (4/7)
-
και έτσι έχουμε τελειώσει
-
Υπολογίσαμε τους λόγους των τριγωνομετρικών συναρτήσεων της γωνίας θ
-
Ας κάνουμε ακόμη μία
-
Θα κάνουμε αυτό λίγο πολύ σαφές.
-
"ΠΑ" ποιά είναι η εφαπτομένη της γωνίας χ, ποία η εφαπτομένη της γωνίας θ. Ας το κάνουμε αυτό ποίο σαφές
-
Ας πούμε
-
Ας πούμε. Ας μου επιτρέψετε να σχεδιάσω άλλο ένα ορθογώνιο τρίγωνο
-
Αυτό εδώ είναι ένα άλλο ορθογώνιο τρίγωνο
-
Κάθε τι που θα εξετάσουμε, αυτό θα αφορά ορθογώνια τρίγωνα
-
Ας υποθέσουμε ότι η υποτείνουσα έχει μήκος τέσσερα
-
Ας υποθέσουμε αυτή εδώ η πλευρά έχει μήκος δύο
-
και ας υποθέσουμε ότι το μήκος αυτής εδώ της πλευράς θα είναι ίση με δυο φορές την τετραγωνική ρίζα του τρία
-
Μπορεί να επιβεβαιώσουμε ότι αυτό εδώ είναι σωστό;
-
Αν πάρουμε το τετράγωνο αυτής εδώ της πλευράς, θα έχουμε, ας το γράψουμε
-
δυο φορές το τετράγωνο της τετραγωνικής ρίζας του τρία
-
συν το τετράγωνο του δυο, το οποίο είναι ίσον με τι;
-
αυτό είναι δύο. Αυτό θα είναι τέσσερες φορές το τρία
-
τέσσερες φορές το τρία συν τέσσερα
-
και αυτό εδώ θα είναι ίσο με δώδεκα συν τέσσερα που είναι ίσο με δέκα έξι
-
και το δέκα έξι είναι πραγματικά το τετράγωνο του τέσσερα. Δηλαδή αυτό είναι ίσον με το τετράγωνο το τέσσερα.
-
και αυτό μα κάνει το τετράγωνο του τέσσερα. Αυτό δηλαδή ικανοποιεί το Πυθαγόρειο θεώρημα
-
και αν θυμάστε κάποιες από τις εργασίες σας από τις γωνίες των 30,60 και 90 μοιρών
-
που μπορεί να έχετε μάθει στην γεωμετρία
-
ίσως θα μπορέσετε να αναγνωρίσετε ότι αυτό εδώ είναι ένα τρίγωνο με γωνίες 30, 60 και 90 μοιρών.
-
Αυτή η δεξιά γωνία είναι η γωνία των ενενήντα μοιρών
-
θα μπορούσα να έχω πάει να ζωγραφίσω αυτό το τρίγωνο αντί να πάω να αποδείξω ότι αυτό εδώ είναι ορθογώνιο τρίγωνο
-
αυτή εδώ η γωνία είναι γωνία τριάντα μοιρών
-
και αυτή εδώ η γωνία είναι, επάνω εδώ
-
είναι γωνία εξήντα μοιρών
-
και είναι τριάντα δεκαέξι ενενήντα επειδή
-
η πλευρά απέναντι από την γωνία των τριάντα μοιρών είναι η μισή από την υποτείνουσα
-
και τότε η πλευρά απέναντι από την γωνία των εξήντα μοιρών είναι ίση με το τρία επί το τετράγωνο του μήκους της άλλης πλευράς
-
αυτή εδώ δεν είναι η υποτείνουσα
-
Έτσι αυτό μας λέει ότι δεν τα καταφέραμε
-
αυτό υποθέτουμε δεν είναι μια επανάληψη του τριγώνου με γωνίες τριάντα, εξήντα, και ενενήντα μοιρών
-
Ας προσπαθήσουμε να βρούμε τους λόγους των τριγωνομετρικών συναρτήσεων των διαφορετικών γωνιών
-
Έτσι αν είχαμε να ρωτήσουμε εσάς ή οποιοδήποτε άλλον τι είναι
-
το ημίτονο των τριάντα μοιρών
-
και να θυμάστε γωνία 30 μοιρών είναι μία από τις γωνίες σε αυτό το τρίγωνο άρα θα πρέπει να ισχύει
-
κάθε φορά που έχεις γωνία τριάντα μοιρών και ασχολείσαι με ορθογώνια τρίγωνα
-
Θα έχουμε ευρύτερη ορισμούς στο μέλλον, αλλά αν πεις ημίτονο τριάντα μοιρών
-
Ουάου, αυτή εδώ η γωνία είναι τριάντα μοιρών, έτσι θα μπορώ να χρησιμοποιήσω αυτή την ορθή γωνία
-
και έτσι θα πρέπει να θυμάμαι "ΑΥ-ΠΥ-ΠΑ"
-
Γράφουμε αυτό . "ΑΥ-ΠΥ-ΠΑ"
-
"το ημίτονο μα λέει" (διόρθωση) το ΑΥ μας λέει τι θα κάνουμε με το ημίτονο, το ημίτονο είναι ίσο με την απέναντι πλευρά δια της υποτείνουσας
-
το ημίτονο γωνίας τριάντα μοιρών είναι η απέναντι πλευρά
-
αυτή είναι η απέναντι πλευρά η οποία είναι ίση με δύο δια της υποτείνουσας
-
Η υποτείνουσα εδώ είναι ίση με τέσσερα
-
είναι ίση με δύο τέταρτα που είναι το ίδιο με ένα δεύτερο
-
το ημίτονο των τριάντα μοιρών θα δείς ότι πάντα είναι ίσο με ένα δεύτερο
-
και τώρα με τι είναι ίσο το συνημίτονο
-
ποιό είναι το συνημίτονο των τριάντα μοιρών;
-
και πάλι ας πάμε πείσω στο "ΑΥ-ΠΥ-ΠΑ"
-
το "ΠΥ" μας λέει τι θα κάνουμε για το συνημίτονο
-
Το συνημίτονο είναι ίσο με τον λόγο της παρακείμενης δια της υποτεινούσης
-
Έτσι όταν κοιτάζουμε την γωνία των τριάντα μοιρών αυτή η πλευρά είναι η παρακείμενη
-
Αυτή εδώ η πλευρά είναι η παρακείμενη. είναι αμέσως μετά
-
δεν είναι η υποτείνουσα. είναι η παρακείμενη δια της υποτείνουσας
-
είναι δυο φορές την τετραγωνική ρίζα του τρία
-
η παράπλευρη δια της υποτείνουσας η παράπλευρη δια τέσσερα
-
ή αν θέλουμε να απλοποιήσουμε αυτό διαιρούμε τον αριθμητή και τον παρανομαστή με δυο
-
είναι ίσο με την τετραγωνική ρίζα του τρία δια δύο
-
Τέλος ας βρούμε την εφαπτομένη
-
η εφαπτομένη των τριάντα μοιρών
-
πάμε πάλι πείσο στο "ΑΥ-ΠΥ-ΠΑ"
-
"ΑΥ-ΠΥ-ΠΑ"
-
το ΠΑ μας λέει τι θα κάνουμε για να υπολογίσουμε την εφαπτομένη
-
πηγαίνουμε στην γωνία των τριάντα μοιρών γιατί αυτή είναι η γωνία που ενδιαφερόμαστε να βρούμε την εφαπτομένη
-
η εφαπτομένη των τριάντα μοιρών. Η απέναντι είναι δύο
-
η απέναντι είναι δύο και η παράπλευρη είναι δυο τετραγωνικές ρίζες του τρία
-
Είναι στην συνέχεια αυτής. Είναι παράπλευρη αυτής
-
Παράπλευρος σημαίνει αμέσως μετά
-
έτσι δυο τετραγωνικές ρίζες του τρία
-
έτσι αυτό είναι ίσο με ότι μένει αν απλοποιήσουμε τα δύο
-
ένα δια της τετραγωνικής ρίζας του τρία
-
ή μπορεί να πολλαπλασιάσουμε τον αριθμητή και τον παρανομαστή με την τετραγωνική ρίζα του τρία
-
Έτσι έχουμε τετραγωνική ρίζα του τρία δια τετραγωνική του τρία επί τετραγωνική ρίζα του τρία
-
έτσι θα είναι ο αριθμητής ίσο με την τετραγωνική ρίζα του τρία
-
και ο παρανομαστής θα είναι ίσον με τρία
-
έτσι η απλοποίηση που κάναμε μας έδωσε την τετραγωνική ρίζα του τρία δια τρία
-
Αρκετά καλά
-
Τώρα ας χρησιμοποιήσουμε το ίδιο τρίγωνο για να υπολογίσουμε τους λόγους των τριγωνομετρικών συναρτήσεων για την γωνία των εξήντα μοιρών
-
μια και έχουμε Ίδη ζωγραφίσει αυτό
-
έτσι ας δούμε ... ποιο είναι το ημίτονο των εξήντα μοιρών;
-
και νομίζω ότι μπορείτε επιτυχώς να βρείτε αυτό τώρα.
-
Μια και αυτό είναι η απέναντι πλευρά δια της υποτείνουσας "ΑΥ-ΠΥ-ΠΑ"
-
για την γωνία των εξήντα μοιρών ποία είναι η απέναντι πλευρά;
-
αυτό που προκύπτει είναι δύο φορές η τετραγωνική ρίζα του τρία
-
δηλαδή η απέναντι πλευρά είναι ίση με δύο φορές την τετραγωνική ρίζα του τρία
-
και από την γωνία των εξήντα μοιρών η παρακείμενη πλευρά ουαου λάθος
-
είναι η απέναντι πλευρά δια της υποτείνουσας
-
έτσι είναι η απέναντι δια της υποτείνουσας
-
επομένως είναι δύο επί τετραγωνική ρίζα του τρία δια τέσσερα. Τέσσερα είναι η υποτείνουσα.
-
επομένως είναι ίσον μετά την απλοποίηση, με τετραγωνική ρίζα του τρία δια δύο
-
Και τώρα ποιό είναι το συνημίτονο των εξήντα μοιρών; το συνημίτονο των εξήντα μοιρών.
-
ας θυμηθούμε το "ΑΥ-ΠΥ-ΠΑ". Το συνημίτονο είναι η παράπλευρη δια της υποτείνουσας
-
παρακείμενη πλευρά είναι πλευρά μήκους δύο, η κάθετη πλευρά που ορίζει την γωνία των εξήντα μοιρών
-
Επομένως αυτό είναι δύο δια της υποτείνουσας που είναι τέσσερα
-
Δηλαδή αυτό είναι ίσο με το εν δεύτερο
-
και τελικά πόσο είναι η εφαπτομένη;
-
πόσο είναι η εφαπτομένη των εξήντα μοιρών;
-
Καλά γνωρίζουμε "ΑΥ-ΠΥ-ΠΑ". Η εφαπτομένη είναι απέναντι πλευράς δια της παρακείμενης
-
η απέναντι πλευρά από την γωνία των εξήντα μοιρών
-
είναι ίση με δύο επί την τετραγωνική ρίζα του τρία
-
δύο φορές η τετραγωνική ρίζα του τρία
-
και η παρακείμενη σ' αυτή
-
η παρακείμενη σ' αυτή είναι ίση με δύο.
-
Η παρακείμενη πλευρά στην γωνία των εξήντα μοιρών είναι δύο.
-
Έτσι η απέναντί δια της παρακείμενης είναι, δύο φορές η τετραγωνική ρίζα του τρία δια δύο
-
η οποία είναι ακριβώς ίση με την τετραγωνική ρίζα του τρία
-
Και τώρα θέλουμε να δούμε πως αυτές σχετίζονται.
-
Το ημίτονο των τριάντα μοιρών είναι ίσον με το συνημίτονο των εξήντα μοιρών
-
Το συνημίτονο των 30 μοιρών είναι το ίδιο με το ημίτονο των 60 μοιρών
-
και αυτό μας οδηγεί να δούμε ότι το ένα είναι αντίστροφό του άλλου
-
και νομίζω αν σκεφτείτε λίγο για αυτό το τρίγωνο
-
αυτό αρχίζει να έχει νόημα. Γιατί;
-
θα συνεχίσουμε να επεκτείνουμε αυτό
-
δίνοντας σας περισσότερες ασκήσεις πρακτικής στα επόμενα βίντεο