Test je intuïtie: Het verjaardag-vraagstuk - David Knuffke

Kijk de volledige les: http://ed.ted.com/lessons/check-your-intuition-the-birthday-problem-david-knuffke

Neem een groep mensen. Hoe groot denk je dat de groep moet zijn om meer dan 50% kans te hebben dat twee mensen in de groep op eenzelfde dag verjaren? Het antwoord is... waarschijnlijk lager dan je denkt. David Knuffke legt uit hoe het verjaardag-vraagstuk onze vaak zwakke intuïtie omtrent waarschijnlijkheid aan het licht brengt.

Les door David Knuffke, animatie door TED-Ed.

Stel: je hebt een groep mensen.

Hoe groot denk je dat die groep moet zijn

om meer dan 50% kans te hebben
dat twee mensen in deze groep

op dezelfde dag jarig zijn?

Neem voor het gemak even aan
dat er geen tweelingen zijn,

dat elke geboortedag
even waarschijnlijk is,

en hou geen rekening met schrikkeljaren.

Neem even de tijd om na te denken.

Het antwoord is verrassend laag.

In een groep van 23 personen,

is er 50.73% kans dat twee van hen
dezelfde verjaardag hebben.

Maar hoe kan het dat
met 365 dagen in een jaar

je maar zo'n kleine groep nodig hebt

om 50% kans te hebben
op een gedeelde verjaardag?

Hoe komt het dat
onze intuïtie er zo naast zit?

Om dat te ontdekken,

bekijken we hoe een wiskundige de kans

op een gezamenlijke verjaardag
zou kunnen berekenen.

We kunnen het wiskundige domein
van de combinatoriek gebruiken,

dat draait om de waarschijnlijkheid
van bepaalde combinaties.

De eerste stap is om
het probleem om te draaien.

Rechtstreeks de kans op
een overeenkomst berekenen is moeilijk,

want er zijn vele manieren om gezamenlijke
verjaardagen te hebben in een groep.

Het is makkelijker de kans te berekenen
dat alle verjaardagen verschillen.

Hoe helpt dat?

Ofwel is er een gezamenlijke verjaardag,
ofwel niet,

dus de kans op geen overeenkomst
en de kans van wel

moeten samen 100% zijn.

We kunnen dus de kans
op een overeenkomst vinden

door de kans op geen gezamenlijke
verjaardag af te trekken van 100.

Om de kans op enkel unieke verjaardagen
te berekenen, begin je klein.

Bereken de kans dat slechts één paar
een verschillende verjaardag heeft.

Een dag is de verjaardag van persoon A,

wat nog 364 mogelijke verjaardagen
voor persoon B overlaat.

De kans op verschillende verjaardagen
voor A en B, voor eender welk paar,

is 364 op 365,

ongeveer 0.997, of 99.7%, behoorlijk hoog.

Nu komt persoon C erbij.

De kans dat zij een unieke verjaardag
heeft in dit groepje

is 363 op 365

want er zijn al twee verjaardagen
bezet door A en B.

D's kans is 362 op 365, en zo verder,

tot aan W's kans op een unieke verjaardag,
343 op 365.

Vermenigvuldig al die termen,

en je krijgt de kans dat niemand
een verjaardag deelt.

Dit komt uit op 0.4927,

dus er is 49.27% kans dat niemand in
de groep van 23 dezelfde verjaardag deelt.

Als we dat van 100 aftrekken,
krijgen we 50.73% kans

op minstens één overlappende verjaardag,

dat is meer dan 50%.

De sleutel tot die hoge kans op een
overeenkomst in zo'n relatief kleine groep

is het verrassend hoge aantal
mogelijke paren.

Terwijl de groep groeit, stijgt
het aantal combinaties veel sneller.

Een groep van vijf personen
telt tien mogelijke paren.

Elke persoon kan gekoppeld worden
aan de andere vier.

De helft van die combinaties
is overtollig,

want persoon A aan persoon B koppelen
is hetzelfde als omgekeerd,

dus we delen door twee.

Op dezelfde rekenwijze,

telt een groep van tien personen 45 paren,

en een groep van 23 telt er 253.

Het aantal paren groeit kwadratisch,

dus proportioneel tot het kwadraat
van het aantal mensen in de groep.

Jammer genoeg zijn onze hersenen
ontzettend slecht in

het intuïtief bevatten
van niet-lineaire functies.

Dus het lijkt eerst onwaarschijnlijk dat
23 mensen 253 mogelijke paren vormen.

Eens onze hersenen dit accepteren,
houdt dit vraagstuk meer steek.

Elk van die 253 paren is een kans
op een gezamenlijke verjaardag.

Om diezelfde reden, zijn er
in een groep van 70 personen

2415 mogelijke paren,

en de waarschijnlijkheid dat twee mensen
een verjaardag delen is meer dan 99.9%.

Het verjaardag-vraagstuk is slechts
een voorbeeld van hoe wiskunde kan

aantonen dat dingen die onmogelijk lijken,

zoals eenzelfde persoon
die twee keer de lotto wint,

eigenlijk helemaal niet
zo onwaarschijnlijk zijn.

Soms zijn toevalligheden
niet zo toevallig als ze lijken.